Terjemahan kitab Tijan Ad-Darari - As-Syaikh Ibrahim Al-Bajuri

Alhamdulillah, Sholawat wa Salam kepada Nabi. Berkat rahmat Allah SWT saya bisa menyelesaikan terjemah kitab Tijan Ad-darori (تيجان الدراري) karangan guru besar As-Syaikh Ibrahim Al-Bajuri, pada hari Selasa, 08/05/2012 pukul 12:44 PM di Pondok Pesantren Mafazah Ad-Dimyatiyah, Bandung Barat. Meski didalamnya banyak kekurangan dan sangat jauh dari kata sempurna, namun saya berharap apa yang saya lakukan ini berada dalam keberkahan Allah SWT dan bisa menjadi kemanfaatan bagi sektor-sektor kebaikan khususnya dikalangan santri pemula seperti saya dan umumnya bagi kaum muslimin muslimat. Amin.

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

{بسم الله الرحمن الرحيم}

 الحمد لله رب العالمين و الصلاة و السلام على رسول الله صلى الله عليه و سلم (وبعد)

Berkatalah seseorang yang faqir dari rahmat tuhannya Yang Maha Waspada serta Maha Melihat, Ibrohim Al-bajuri pemilik sifat lalai.

Telah meminta beberapa dari saudara-saudaraku (semoga Allah memberi kelayakan keadaan dan perilaku padaku dan pada mereka) supaya aku menuliskan untuk mereka sebuah risalah/kitab kecil yang isinya melingkupi atas sifat-sifat ketuhanan dan sifat kontradiksi/lawan-lawannya serta sifat yang boleh ada dalam haq Allah Ta’ala. Juga atas sifat yang wajib  dalam haq para Rasul, dan yang mustahil dalam haq para Rasul, serta yang boleh. Maka aku mengabulkan permintaan mereka kemudian aku berkata “وبالله التوفيق”

Wajib kepada setiap mukallaf/muslim yang baligh lagi berakal untuk mengetahui perkara yang wajib dalam haq Allah Ta’ala dan perkara yang mustahil, serta perkara yang boleh ada.

http//www.rifyal156.co.cc/

Maka wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Wujud/ada (الوجود). Lawannya yaitu sifat Al-‘Adam/tiada (العدم). Dan dalil  atas  Allah Ta’ala itu ada yaitu adanya semua ciptaan (alam semesta beserta isinya baik yang nyata maupun yang ghaib dsb)

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Qidam/terdahulu (القدم). Artinya yaitu tiada permulaan bagi Allah Ta’ala. Lawannya yaitu sifat Al-Hudust/baru (الحدوث). Dan dalil atas Allah Ta’ala terdahulu yaitu: jikalau adanya Allah merupakan sesuatu yang baru, maka tentu Allah membutuhkan terhadap pembaharu. Dan itu mustahil.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Baqa/kekal (البقاء). Artinya sesungguhnya Allah Ta’ala tiada akhirnya. Dan dalil atas kekalnya  Allah Ta’ala yaitu: jikalau adanya Allah merupakan sesuatu yang  Al-Fana/rusak, maka tentu Allah merupakan sesuatu yang baru. Dan itu mustahil.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat mukholafah lil hawadisi/berbeda dengan makhluk (مخالفة للحوادث). Artinya sesungguhnya Allah Ta’ala tiada serupa dengan para makhluk. Bagi-Nya tiada tangan, tiada mata, tiada telinga, dan tiada yang lainnya dari sifat-sifat para makhluk. Lawannya yaitu sifat Al-mumatsalah/serupa (المماثلة). Dan dalil  atas berbedanya Allah Ta’ala dengan makhluk yaitu: sesungguhnya jikalau adanya Allah merupakan sesuatu yang  serupa dengan makhluk, maka tentu Allah merupakan sesuatu yang baru. Dan itu mustahil.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Qiyaam bi al-nafs/berdiri sendiri (القيام بالنفس). Artinya sesungguhnnya Allah Ta’ala tidak membutuhkan pada tempat dan tidak juga terhadap yang menentukan. Lawannya yaitu sifat Al-Ihtiyaj ila Al-Mahal wa Al-Mukhoshis/membutuhkan pada tempat dan penentu (الإحتياج الى المحل والمخصص ). Dan dalil  atas Allah Ta’ala berdiri sendiri yaitu:  sesungguhnya jikalau Alloh Ta’ala membutuhkan pada tempat maka keadaan Allah merupakan sifat. Dan keadaan Allah merupakan sifat itu mustahil. Dan jikalau adanya Allah membutuhkan terhadap yang menentukan, maka tentu Allah merupakan sesuatu yang baru. Dan keadaan Allah merupakan sesuatu yang baru itu mustahil.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Wahdaniat/tunggal (الوحدانية) dalam dzat-Nya, dan dalam sifat-sifat-Nya, dan dalam perbuatan-perbuatan-Nya. Dan arti tunggal dalam dzat-NYa yaitu, sesungguhnya Allah tidak tersusun dari bagian-bagian yang berbilang. Dan arti tunggal dalam sifat-sifat-Nya yaitu, sesungguhnya tiada dua sifat atau lebih pada Allah dari satu jenis sifat seperi adanya dua kekuasaan. Begitupun pada yang lain tiada satu sifat pun yang menyerupai terhadap sifat Allah Ta’ala. Dan arti tunggal dalam perbuatan-perbuatan-Nya, yaitu tiada bagi yang lain suatu perbuatan dari sebagian perbuatan-perbuatan Allah. Lawannya yaitu sifat At-Ta’addud/berbilang (التعدد). Dan dalil  atas tunggalnya Allah Ta’ala yaitu: sesungguhnya jikalau adanya Allah merupakan sesuatu yang  banyak/berbilang, maka tidak akan dijumpai sesuatu pun dari ciptaan-ciptaan-Nya.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Qudrat/berkuasa (القدرة). Yaitu suatu sifat tedahulu yang menetap pada Dzat Allah Ta’ala yang dengannya Allah mewujudkan dan meniadakan. Lawannya yaitu sifat Al-Ajz/lemah (العجز). Dan dalil atas Allah Ta’ala berkuasa yaitu: sesungguhnya jikalau keadaan  Allah lemah, maka tidak akan dijumpai sesuatu pun dari ciptaan-ciptaan-Nya.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Iradat/berkehendak (الإرادة). Yaitu suatu sifat tedahulu yang menetap pada Dzat Allah Ta’ala yang dengannya Allah menentukan kemungkinan keadaan atau ketiadaan, atau kaya atau miskin, atau pengetaguan atau kebodohaan, dan lain sebagainya. Lawannya yaitu sifat Al-karohah/terpaksa/tiada berkehendak (الكراهة). Dan dalil atas Allah Ta’ala berkehendak yaitu: sesungguhnya jikalau adanya Allah terpaksa/tiada berkehendak, maka tentulah Allah lemah. Dan keadaan Allah lemah itu mustahil.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-ilmu/tahu (العلم). Yaitu suatu sifat tedahulu yang menetap pada Dzat Allah Ta’ala yang dengannya Allah mengetahui setiap perkara. Lawannya yaitu sifat Al-jahl/bodoh (الجهل). Dan dalil  atas Allah Ta’ala tahu yaitu: sesungguhnya jikalau adanya Allah bodoh, maka tidaklah Allah merupakan yang berkehendak. Dan itu mustahil.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Hayat/hidup (الحياة). Yaitu suatu sifat tedahulu yang menetap pada Dzat Allah Ta’ala yang membenarkan kepada Allah atas adanya sifat Al-ilmu dan sifat-sifat lainnya. Lawannya yaitu sifat Al-Maut/mati (الموت). Dan dalil  atas Allah Ta’ala hidup yaitu: sesungguhnya jikalau adanya Allah mati, maka tidaklah Allah merupakan dzat yang berkuasa, tidak pula yang berkehendak, tidak pula yang berpengetahuan. Dan itu mustahil.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat As-Sama’/mendengar (السمع) dan Al-Bashor/ melihat (البصر). Yaitu dua sifat tedahulu yang keduanya menetap pada Dzat Allah Ta’ala yang dengannya tersingkap perwujudan. Lawannya yaitu sifat As-Shomam/tuli (الصمم) dan Al-Umy/buta (العمي). Dan dalil  atas Allah Ta’ala mendengar dan melihat yaitu firman Allah Ta’ala: "وهو السميع البصير"

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat Al-Kalam/berfirman (الكلام). Yaitu suatu sifat tedahulu yang menetap pada Dzat Allah Ta’ala. Dan fiman ini bukanlah dengan huruf dan bukan dengan suara. Lawannya yaitu sifat Al-Bukm yaitu Al-hirsy/bisu (البكم). Dan dalil  atas Allah Ta’ala tahu yaitu firman Allah Ta’ala: "و كلم الله موسى تكليما"

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat kaunuhu qadiran/adanya Allah berkuasa (كونه قادرا).Lawannya yaitu sifat kaunuhu ajizan/ adanya Allah yang lemah (كونه عاجزا). Dan dalil atas adanya Allah Ta’ala itu yang berkuasa yaitu dalil sifat Al-Qudrat.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat kaunuhu muridan/adanya Allah yang berkehendak (كونه مريدا).Lawannya yaitu sifat kaunuhu karihan/adanya Allah yang terpaksa (كونه كارها). Dan dalil atas adanya Allah Ta’ala yang berkehendak yaitu dalil sifat Al-iradat.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat kaunuhu aliman/adanya Allah yang mengetahui (كونه عالما). Lawannya yaitu sifat kaunuhu jahilan/adanya Allah yang bodoh (كونه جاهلا). Dan dalil atas adanya Allah Ta’ala yang mengetahui  yaitu dalil sifat Al-‘ilmu.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat kaunuhu hayyan/adanya Allah yang hidup (كونه حيا). Lawannya yaitu sifat kaunuhu mayyitan/adanya Allah yang mati (كونه ميتا). Dan dalil atas adanya Allah Ta’ala yang hidup yaitu dalil sifat Al-hayyat.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat kaunuhu samii’an/adanya Allah yang mendengar (كونه سميعا) dan bashiiran/adanya Allah yang melihat (كونه بصيرا). Lawannya yaitu sifat kaunuhu ashoma/adanya Allah yang tuli (كونه أصم) dan kaunuhu a’ma/adanya Allah yang buta (كونه اعمى). Dan dalil atas adanya Allah Ta’ala yang mendengar dan melihat  yaitu dalil sifat As-sama’ dan dalil sifat Al-Bashor.

Dan wajib dalam haq Allah Ta’ala, sifat kaunuhu mutakalliman/adanya Allah yang berfirman (كونه متكلما). Lawannya yaitu sifat kaunuhu abkama/adanya Allah yang bisu (كونه ابكم). Dan dalil atas adanya Allah Ta’ala yang berrfirman yaitu: dalil sifat Al-kalam.

Dan ja’iz/ boleh (الجائز) dalam haq Allah Ta’ala melakukan setiap yang mungkin atau membiarkannya. Dalil atas ini yaitu sesungguhnya jikalau wajib atas Allah SWT melakukan sesuatu atau membiarkannya niscaya  ja’iz tersebut menjadi wajib atau mustahil. Dan itu mustahil.

http//www.rifyal156.co.cc/

Dan wajib dalam haq para Rasul Alaihi sholatu wa ssalam sifat As-Shiddiq/ benar (الصديق). Dan lawannya yaitu sifat Al-kidzb/ bohong (الكذب). Dan dalil atas ini yaitu sesungguhnya jikalau mereka para Rasul berbohong niscaya adanya berita Allah Ta’ala itu bohong. Dan itu mustahil.

Dan wajib dalam haq para Rasul Alaihi sholatu wa ssalam sifat Al-Amanah/ terpercaya (الأمانة). Dan lawannya yaitu sifat Al-khiayanat/ berhianat (الخيانة). Dan dalil atas ini yaitu sesungguhnya jikalau mereka para Rasul berhianat dengan berbuat yang diharamkan atau dimakruhkan niscaya kita semua itu diperintah dengan seumpama itu. Dan tidak benar bahwa kita diperintah terhadap yang diharamkan atau dimakruhkam.

Dan wajib dalam haq para Rasul Alaihi sholatu wa ssalam sifat Tablig/ menyampaikan perkara yang telah diperintahkan terhadap mereka untuk menyampaikannya kepada makhluk (تبليغ). Dan lawannya yaitu sifat kitman/ menutup-nutupi (كتمان). Dan dalil atas ini yaitu sesungguhnya jikalau mereka para Rasul menutup-nutupi suatu perkara yang telah diperintahkan terhadap mereka untuk disampaikan, niscaya adanya kita diperintah untuk menyembunyikan ilu. Dan tidak benar kita diperintah untuk itu. Karena sesungguhnya orang yang menutup-nutupi pengetahuan itu dilaknat.

Dan wajib dalam haq para Rasul Alaihi sholatu wa ssalam sifat Al-fathonah/ cerdas (الفطانة). Dan lawannya yaitu sifat Al-biladah/ bodoh (البلادة). Dan dalil atas ini yaitu sesungguhnya jikalau mereka para Rasul tiada kecerdasan nicacaya mereka tidak berkuasa membuat hujjah terhadap para lawan/musuh. Dan itu mustahil. Karena Al-Qur’an menunjukan dalam banyak tempat atas menegakannya para Rasul terhadap hujjah kepada lawan/musuh.

Dan jaiz/boleh dalam haq para Rasul Alaihi sholatu wa ssalam sifat Al-a’rod Al-Basyariyah/ nampak manusiawi (الأعراض البشرية) yang tidak menimbulkan kekurangan pada martabat mereka yang luhur seperti sakit dan seumpamanya. Dan dalil atas ini yaitu terbuktinya sifat penampakan manusiawi pada mereka Alaihi sholatu wa ssalam.

http//www.rifyal156.co.cc/

(Penutup) wajib terhadap seseorang lelaki atau perempuan untuk mengetahui nasab/silsilah Nabi SAW dari pihak ayahnya dan dari pihak ibunya.

Adapun nasab Nabi SAW dari pihak ayahnya maka dia, baginada kita semua Muhammad adalah putra Abdullah, yang putranya Abdul Mutholib, yang putranya Hasyim, yang putranya Abdu Manaf, yang putranya Qushoy , yang putranya Kilab, yang putranya Murroh, yang putranya Ka’ab, yang putranya Lu-ay, yang putranya Ghalib, yang putranya Fihr, yang putranya Malik, yang putranya Nadlir, yang putranya Kinanah, yang putranya Hujaimah, yang putranya Mudrikah, yang putranya Ilyas, yang putranya Mudlor, yang putranya Nizar, yang putranya Mu’ad, yang putranya Adnan. Dan tidak ada nasab/ silsilah sesudah Adnan sampai Adam AS berdasarkan perjalanan shahih dalam penukilan.

Adapun nasab Nabi SAW dari pihak ibunya maka dia, baginada kita semua Muhammad adalah putra Aminah, yang putrinya Wahab, yang putranya Abdu Manaf, yang putranya Zuhroh, yang putranya Kilab. Maka berkumpulah Aminah beserta Nabi SAW pada eyangnya Kilab.

Dan dari sebagian perkara yang wajib untuk diketahui yaitu sesungguhnya Nabi memiliki Haudl/ danau. Dan sesungguhnya nabi SAW akan memberi syafaat ketika dalam fashl Al-Qodlo (penghakiman yang akan memisah manusia). Dan Syafaat ini dikhususkan kepada Nabi SAW.

Dan juga dari sebagian perkara yang wajib yaitu harus mengetahui para Rasul yang disebutkan dalam Al-Qur’an secara rinci/spesifik. Adapun selain para Rasul tersebut, maka wajib untuk seseorang mengetahuinya secara global/keseluruhan. Dan sungguh telah menadhomkan sebagian ulama untuk nabi-nabi yang wajib mengetahuinya secara rinci. Maka mereka berkata:

حَتْمٌ عَلَى كُلِّ ذِي التَّكْلِيفِ مَعْرِفَةُ # بِأَنْبِيَاءٍ عَلَى التَّفْصِيلِ قَدْ عُلِمُوا

فِي تِلْكَ حُجَّتُنَا مِنْهُمْ ثَمَانِيَةٌ # مِنْ بَعْدِ عَشْرٍ وَيَبْقَى سَبْعَةٌ وَهُمُوا

إدْرِيسُ هُودٌ شُعَيْبٌ صَالِحٌ وَكَذَا ذُو الْكِفْلِ آدَم بِالْمُخْتَارِ قَدْ خُتِمُوا

“Mesti kepada setiap mukallaf mengenal Nabi-Nabi secara rinci yang telah diketahui dalam hujjah kita. Sebagian mereka ada 18 dan sisanya ada 7 yaitu Idris, Hud, Syuaib, Sholih, begitu juga zulkifli, adam. Yang diakhiri oleh Al-Mukhtar Nabi Muhammad”

Dan juga dari sebagian perkara yang wajib diyakini yaitu bahwa sesungguhnya kurun/masa Rasulullah adalah masa yang paling unggul. Kemudian kurun sesudahnya, kemudian kurun sesudahnya lagi.

Dan seyogyanya bagi seseorang untuk mengenal anak-anak Nabi SAW. dan mereka berdasarkan riwayat yang shahih yaitu Syaid Al-Qasim, Syaidah zainab, Syaidah Ruqayah, Syaidah Fatimah, Syaidah Ummi kulsum, Syaid Abdullah yang dijuluki At-Thoyyib dan At-Thohir, Syaid Ibrahim. Dan mereka semua dilahirkan dari Syaidah Khodijah Al-Kubra Al-Ibrahim. Dan yang dilahirkan dari Mariah yaitu Al-Qibthiyah.

Psikologi Pacaran Cowok Teknik

Psikologi – Cowok yang masuk di jurusan teknik itu banyak kejutannya, entah kejutan bikin terharu ataupun kejutan yang menyebalkan. Apakah dia dari jurusan teknik industri, mesin, elektro, sipil, arsitektur, geologi, komputer dan informatika, geodesi, kimia, nuklir, geomatika, dan lainnya. Tentunya pacaran dengan cowok teknik itu ada kelebihan dan kekurangannya, apa saja sih :

Kelebihan 

1. Pantang menyerah
2. Macho
3. Menyelesaikan masalah dengan cepat.
4. Membantu untuk mengerjakan hal-hal teknis seperti masalah pada kendaraan, laptop, atau gadget.
5. Merencanakan kegiatan bersama dengan matang.
6. Pintar memilih produk atau barang.
7. Rela panas-panasan dan kedinginan saat dibutuhkan.
8. Tanpa sadar mengajari pasangannya untuk nggak bergantung pada orang lain
9. Nggak punya rasa khawatir untuk selingkuh
10. Punya banyak teman yang bisa menolong disaat-saat perlu pertolongan
11. Punya hobi yang bermanfaat.

Kekurangan

1. Nggak lepas dari pertemanan. Untuk mendapatkan perhatian, saingan pacarnya adalah teman-temannya.
2. Tidak memperhatikan perubaha penampilan secara detail.
3. Ucapannya blak-blakan.
4. Nggak bisa terpisah dari klub bola kesayangannya.
5. Rajin begadang.
6. Nggak bisa mengabari pacarnya setiap waktu dan nggak punya banyak waktu untuk pacaran.
7. Nggak memperhatikan penampilan sendiri.
8. Keras kepala dan muka tebal
9. Suka berdebat masalah-masalah sepele.
10. Nggak bisa mengharapkannya untuk bikin puisi.
11. Suka memakai caranya sendiri saat berantem, karena nggak ada demokrasi dalam pacaran.

Unsur unsur interinsik dan ekstrinsik novel sang pemimpi

 Judul Novel : Sang Pemimpi
 Karya : Andrea Hirata
 Penerbit : PT. Bentang Pustaka Jln. Pandega Padma 19, Yogyakarta 55284
Tahun terbit : 2006
Jumlah halaman : 292 halaman, 20,5 cm
 1. Alur
 a. Peristiwa penting :
  Arai menjaili pak Mustar,akhirnya Arai beserta Ikal dan Jimbron kabur ke gudang peti es tempat menyimpan ikan basi.
 Ikal dan Arai yang mengenal jimbron saat sering dihukum Taikong Hamim
 Perusahaan Timah Belitong yang terancam kolaps, menimbulkan gelombang besar PHK.
 Ikal,Arai dan Jimbron melanjutkan sekolah di Universite de Paris, Sorbonne, Prancis. b. Tahapan alur : 1. Eksposisi/perkenalan :
Dimulai dari Pak Mustar yang menutup pagar sekolah setengah jam sebelum masuk. Itu membuat Arai,Ikal dan Jimbron telat masuk sekolah. Akhirnya mereka menjaili Pak Mustar,dan Pak Mustar akhirnya geram dan mengejar mereka. Bukti : hal 10 2. Munculnya masalah Ikal yang ragu dan goyah dan menyebut dirinya sendiri sebagai sang pemimpi. Ikal bimbang karena mengingat keadaanya yang sekarang,tinggal di kampung terpencil yang kumuh,membuatnya ragu akan cita-citanya : mengenyam pendidikan yang tinggi. Serta cibiran dari seorang kuli angkut “ceritakan mimpimu agar Tuhan bisa tertawa.” Bukti : hal 144 c. Jenis Alur : Campuran. Dalam novel ini menggunakan alur maju dan mundur. Alur maju ketika pengarang menceritakan dari mulai kecil sampai dewasa dan alur mundur ketika menceritakan peristiwa waktu kecil pada saat sekarang/dewasa. 2. Latar atau Setting a.Tempat :  Pulau Magai Belitong,hal 6. Bukti : Setelah empat puluh tahun bumi pertiwi mereka akhinya Belitong timur,pulau timah yang kaya raya itu,memiliki sebuah SMA Negeri. Bukan Main.  Dermaga pelabuhan,hal 22. : peti es itu terletak di dermaga pelabuhan.  SMAN Bukan Main,bukti hal 91 : tapi kelelahan beliau telah terbalaskan disini,di SMA kami. SMAN Bukan Main.  Universite de Paris,Sorbonne,Prancis, hal 272 : Hanya itu kalimat yang dapat menggambarkan bagaimana sempurnanya Tuhan telah mengatur potongan-potongan mozaik hidupku dan Arai, demikian indahnya Tuhan bertahun-tahun telah memeluk mimpi-mimpi kami, telah menyimak harapan-harapan sepi dalam hati kami, karena di kertas itu tertulis nama universitas yang menerimanya, sama dengan universitas yang menerimaku, di sana jelas tertulis : Universite de Paris, Sorbonne, Prancis. b. Waktu waktu yang digunakan adalah pagi,sore,malam.  Pagi : halaman 6 “Senin pagi ini kuanggap hari yang sial. Setengah jam sebelum masuk,Pak Mustar mengunci pagar sekolah. Beliau berdiri di podium menjadi inspektur apel rutin.”  Sore : halaman 37 “Sore yang indah. Perkebunan kelapa sawit di kaki gunung sebelah timur kampong kami sepeti gais panjang yang membelah matahari.  Malam : halaman 103 : “Suatu malam,ketika orang-orang berkerudung sedang antre,dia menghambur ke dalam los kontakan,mengagetkan aku dan Arai yang sedang tidur.” c. suasana  Tegang. (hal 2 : Aku gugup. Jantungku berayun-ayun seumpama punchbagyang dihantam beruntun seorang petinju. Berjingkat-jingkat dibalik peti es,kedua kakiku tak teguh,gemetar.”)  Takut. (hal 2 : “Bau ikan busuk yang merebak dari peti-peti amis, diruang yang asing ini,sirna dikalahkan oleh rasa takut.”)  Sedih. (hal 39 : “Nurmi memeluk biola nya kuat-kuat. Air matanya mengalir. Ia tak rela melepas biola itu.”)  Senang,lucu. (hal 123 : “Penonton terbahak-bahak melihat Arai digerak-gerakkan seperti robot anjing oleh Pak mustar.” ) 3. Tokoh a. berdasarkan peran Tokoh utama 1. Ikal adalah anak kampung yang miskin. Watak nya baik hati, optimistis, pantang menyerah, penyuka rhoma irama. 2. Arai adalah tokoh sentral dalam buku ini. Arai adalah sosok yang begitu spontan dan jenaka, seolah tak ada sesuatupun di dunia ini yang akan membuatnya sedih dan patah semangat. 3. Jimbron, anak yatim piatu yang diasuh oleh seorang pastur Katolikbernama Geovanny. Jimbron adalah penyeimbang di antara Arai dan Ikal, Tokoh tambahan 1. Pendeta Geovanny, ia adalah seorang Katolik yang mengasuh Jimbron selepas kepergian kedua orangtua Jimbron. 2. Pak Mustar M. Djai'din. BA. adalah salah satu pendiri SMA Negeri Manggar. Terkenal dengan aturan-aturannya yang disiplin dan hukuman yang sangat berat. Namun sebenarnya beliau adalah pribadi yang sangat baik dan patut dicontoh. 3. Pak Drs. Julian Ichsan Balia; Kepala Sekolah SMA Negeri Manggar. Laki-laki muda, tampan, lulusan IKIP Bandung yang masih memegang teguh idealisme. 4. Nurmala; Zakiah Nurmala binti Berahim Mantarum,gadis pujaan Arai sejak pertama kali Arai melihatnya. Nurmala adalah gadis yang pandai, selalu menyandang ranking 1 5. Laksmi; gadis pujaan Jimbron. Telah kehilangan kedua orangtuanya dan tinggal serta bekerja di sebuah pabrik cincau. 6. Capo Lam Nyet Pho; Seorang yang memungkinkan berbagai hal sebagai objek untuk bisnisnya. 7. Taikong Hamim; Guru mengaji di masjid di kampung Gantung. 8. Bang Zaitun; Seniman musik pemimpin sebuah kelompok Orkes Melayu. 9. A Kiun; Gadis Hokian penjaga loket bioskop. 10. Nurmi; Berbakat memainkan biola, 11. Pak Cik Basman; Seorang tukang sobek karcis di sebuah bioskop di Belitong. 12. A Siong; Pemilik toko kelontong tempat Ikal dan Arai berselisih tentang penggunaaan uang tabungan 13. Deborah Wong; Istri A Siong dan ibu dari Mei Mei. Perempuan asalHongkong yang tambun dan berkulit putih. 14. Mei Mei; Gadis kecil anak Deborah Wong. b.Berdasarkan sifat 1. Antagonis : Pak Mustar M. Djai'din. BA., Taikong Hamim. 2. Protagonis : Pendeta Geovanny, Pak Drs. Julian Ichsan Balia, Ikal, Jimbron, Arai, Capo Lam Nyet pho, Bang zaitun, Nurmi, Nurmala, Mei-Mei, A siong, Laksmi. 3. Tritagonis : A kiun, Pak Cik Basman, Deborah wong. 4. Tema Novel ini memiliki tema tentang persahabatan dan perjuangan dalam mengarungi kehidupan serta kepercayaan terhadap kekuatan sebuah mimpi atau pengharapan. 5. Sudut pandang Pengarang Andrea Hirata menggunakan sudut pandang orang pertama (akuan) karena dalam novel ini lebih banyak menyebutkan Aku. Missal : “Aku beranjak membawa suratku dan duduk di rumah panggung kami. Ayah dan ibuku mengikutiku lalu duduk di kanan kiriku.” 6. Pesan dan Amanat a. Terdapat banyak amanat yang terkandung dalam novel ini diantaranya : Kita harus percaya akan keagungan dan kekuasaan Allah SWT. b. Menjalin persahabatan dengan baik, saling memahami kekurangan dan kelebihan masing-masing c. Pengorbanan harus dibarengi dengan kesabaran dan tetap optimis. d. Gantungkan cita-cita setinggi langit. e. Keterbatasan, kemiskinan bukan penghalang meraih cita-cita karena itu berusaha dan berdoa sangat diperlukan. f. Saling membantu, menghargai kepada sesama. 7. Gaya bahasa : Novel ini menggunakan gaya bahasa Seperti yang tercantum dalam halaman 1 : “daratan ini mencuat dari perut bumi laksana tanah yang dilantakkan tenaga dahsyat katakslimik. Menggelegak sebab sebab lahar meluap-luap dibawahnya. Lalu membumbung diatasnya,langit terbelah dua.” 8. Sinopsis : Dalam Sang Pemimpi, Andrea bercerita di jambi tentang kehidupan ketika masa-masaSMA. Tiga tokoh utamanya adalah Ikal, Arai dan Jimbron. Ikal- alter egonya Andrea Hirata, sedangkan Arai adalah saudara jauh yang yatim piatu yang disebut simpai keramat karena anggota keluarga terakhir yang masih hidup dan akhirnya menjadi saudara angkat dan Jimbron adalah seorang yatim piatu yang terobsesi dengan kuda dan gagap bila sedang antusias terhadap sesuatu atau ketika gugup. Ketiganya dalam kisah persahabatan yang terjalin dari kecil sampai mereka bersekolah di SMA Negeri Manggar, SMA pertama yang berdiri di Belitung bagian timur. Bersekolah di pagi hari dan bekerja sebagai kuli di pelabuhan ikan pada dini hari, dari ketagihan mereka menonton film panas di bioskop dan akhirnya ketahuan guru mengaji mereka , kisah cinta Arai dan Jimbron, perpisahan Jimbron dengan ikal dan Arai yang akan meneruskan kuliah di Jakarta yang akhirnya membuat mereka berdua terpisah tetapi tetap akan bertemu diPerancis. Hidup mandiri terpisah dari orang tua dengan latar belakang kondisi ekonomi yang sangat terbatas namun punya cita-cita besar , sebuah cita-cita yang bila dilihat dari latar belakang kehidupan mereka, hanyalah sebuah mimpi.

santri merayu

Sayang… Aku tak akan pernah berubah bagai alif maksurah dan mabni yang tidak akan menerima I’rab dalam berbagai keadaan. Aku takut suatu ketika kamu menjadi alif layyinah, ketika kau bertemu yang lain yang membuatmu bahagia, merasa sesuai dengannya dan kamu akan merubah dirimu menjadi marfu’, mansub, majrur, ataupun majzum. Ketika itu kau akan membuka hatimu untuknya hmmmmmm Namun aku akan tetap menjadi mubtada’ dan kau khabar-nya, aku suka menjadi fi’il dan kau fa’il-nya, hanya saja dalam keadaan tertentu kita tidak selalu berdampingan kan ??. Kadang-kadang aku pergi, begitu pula kadang-kadang kau yang pergi, seandainya muncul naibul fa’il. Janganlah pernah ada kecurigaan karena Kecurigaan itu bagiku seperti inna wa akhowatuha yang merusakkan mubtada’ (isim inna) yang tadinya marfu’ menjadi mansub. Dan akupun tidak mau hari-hariku didera kecurigaan dan perasaan was-was padamu, aku yakin hatiku akan tetap memihak padamu jika kecurigaan itu selalu menghantuiku. Seperti apa yang dilakukan oleh kana wa akhowatuha, merusakkan khabar mubtada’ (khabar kana) yang tadinya marfu’ menjadi mansub. Dan akhirnya kita saling mencurigai, dan tak ada lagi kepercayaan di hati masing-masing. Membiarkan kecurigaan berpaut pada hubungan ini sampai pada akhirnya tidak ada yang tinggal … Walau sedikit harapan. Aku juga tidak mau nasibku seperti huruf illat yang sering dibuang dalam sebuah kalimat kalau sudah tidak diperlukan. Aku tak tahu adakah Imam Sibawaih pernah begini atau tidak, jika beliau pernah begini, mungkin saja ada I’rob yang dapat meretakkan hubungan kita sekarang…😀

RAYUAN SANTRI AHLI TAJWID KEPADA CALON ISTRINYA

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

• Dik, saat pertama kali berjumpa denganmu, aku bagaikan berjumpa dengan Saktah… hanya bisa terpana dengan menahan nafas sebentar… 
• Aku di matamu mungkin bagaikan Nun Mati di antara idgham Billaghunnah, terlihat, tapi dianggap tak ada… 
•  Aku ungkapkan maksud dan tujuan perasaanku seperti Idzhar, jelas dan terang… 
• Jika Mim Mati bertemu Ba disebut ikhfa Syafawi, Maka jika aku bertemu dirimu, itu disebut cinta… 
• Sejenak pandangan kita bertemu, lalu tiba-tiba semua itu seperti Idgham Mutamaatsilain melebur jadi satu. 
•  Cintaku padamu seperti Mad Lazim … Paling panjang di antara yang lainnya… 
•  Setelah kau terima cintaku, hatiku rasanya seperti Qalqalah Kubro.. terpantul-pantul dengan keras… 
• Dan akhirnya setelah lama kita bersama, cinta kita seperti Iqlab, ditandai dengan dua hati yang menyatu.. 
• Sayangku padamu seperti Mad Thobi’i dalam Qur’an… Buanyaaakkk beneerrrrr…. 
• Semoga dalam hubungan, kita ini kayak idgham Bilaghunnah ya, cuma berdua, Lam dan Ro’ .. 
• Layaknya Waqaf Mu’annaqah, engkau hanya boleh berhenti di salah satunya, dia atau aku? Meski perhatianku ga terlihat kaya Alif Lam Syamsiah, cintaku padamu seperti Alif Lam Qomariah, terbaca jelas… 
•  Dik, kau dan aku seperti Idghom Mutajanisain… perjumpaan dua huruf yang sama makhrajnya tapi berlainan sifatnya… 
• Aku harap cinta kita seperti Waqaf Lazim, terhenti sempurna di akhir hayat… Sama halnya dgn Mad ‘Aridh dimana tiap mad bertemu Lin Sukun Aridh akan berhenti, seperti itulah pandanganku ketika melihatmu… 
•  Layaknya huruf Tafkhim, namamu pun bercetak tebal di fikiranku Seperti Hukum imalah yg dikhususkan untuk Ro’ saja, begitu juga aku yang hanya untukmu. 
•  Semoga aku jadi yang terakhir untuk kamu, seperti Mad Aridlisukun…

BELAJAR TELEPATI

Cara Ampuh Membaca Pikiran Orang Lain atau Telepatih. Ada yang bisa baca pikiran orang gak? Pernah mencoba melakukan telepati? Mungkin bagi kebanyakan orang hal ini adalah hal yang sangat sulit untuk di lakukan. Terjadinya TELEPATI rasanya sampai sekarang orang belum dapat menjelaskannya dengan pasti dan jelas. Tapi yang sampai saat ini banyak dianut oleh para Praktisi adalah sebagai getaran dari Batin bawah sadar seseorang kepada Batin bawah sadar orang tertuju. Banyak kejadian sehari - hari yang tanpa kita sadari sebetulnya adalah peristiwa TELEPATI ,misalnya seorang ibu dapat merasakan sakit anaknya yang jauh dirantau ,walaupun jarak yang memisahkannya melebihi Benua bahkan belahan Dunia. Seorang SUAMI dapat merasakan Sakit ISTRINYA pada saat sang istri MELAHIRKAN...,biasanya pada Anak Pertama. itulah Telepati. Kemudahan Teman-teman dalam bertelepati sedikit dipengaruhi hal-hal berikut gan: 1. Kebersihan hati, semakin anda hatinya bersih, ikhlas, jauh dari maksiat biasanya semakin mudah dalam melakukan telepati 2. 2 orang yang bertelepati lebih mudah dilakukan bila 2 orang itu mempunyai hubungan darah. Misalnya saudara kembar, ibu dengan anaknya, adik dan kakak.. 3. Misalpun tak punya hubungan darah juga gpp. Sinyal telepati juga bisa terkirim antara dua orang yang saling mencintai (suami-istri), sahabat yang sangat dekat, atau rekan kerja/bisnis yang juga cukup dekat. 4. Sinyal telepati juga bisa terkirim dari 2 orang yang walaupun tidak saling kenal, tetapi memiliki kesamaan sifat, kepribadian, dan kondisi hidup/lingkungannya. Teman-teman pun bisa coba praktekin ini pada temen anda, saudara kembar (kalau ada), adik/kakak. Kalau saudara ga ada, mending temen deket atau temen yang mempunyai kesamaan sifat/hobi, intinya semua orang juga boleh deh, tp cari dulu yg sesuai kriteria diatas, kalau ga ada baru siapa aja boleh teman-teman ajak sebagai kelinci percobaan agan. Gini cara mainnya, teman-teman lakukan petunjuk prakteknya seperti ini: 1. Rileks dulu guys.. 2. Suruh temen anda milih angka, rangenya kecil dulu aja, suruh milih angka dari 1 sampai 5 (1,2,3,4,5), disuruh milih dalam hati aja gan,jangan disebutin. 3. Menyamakan cara berfikir antara anda dengan temen anda. Caranya anda mengajak wawancara teman anda dulu (sebagai formalitas saja), tirukan dialog dibawah ini : (A=Anda; T=Teman Anda) A: Siapa Nama Lengkapmu ? T: Muhammad Taufiq (misalnya namanya itu, yg jelas nanti Teman Agan harus menjawab sejujur-jujurnya) (walaupun teman-teman udah kenal dia sebelumnya, formalitas ini penting. Sesaat setelah Teman anda menyebut namanya. Anda anggap bahwa Anda bernama Muhammad Taufiq (nama temen anda pokoknya) A: Dimana Alamat tinggalmu ? T: Di perumahan Sumber belakang stadion Manahan, Solo, Jawa Tengah (Anda langsung anggap bahwa rumah Anda adalah di perumahan Sumber belakang stadion Manahan, Solo, Jawa Tengah, rasakan lingkungannya.. imajinasikan anda kalau pulang sekolah pulangnya ke rumah di perumahan sumber tsb) A: Dimana Sekolahmu ? T: SMA 4 Surakarta (Anda harus anggap bahwa anda bersekolah disitu (SMA 4 Surakarta), bayangkan seragamnya seperti apa, bayangkan agan harus bangun pagi berangkat sekolah ke arah SMA 4 Surakarta.) A: Siapa nama Bapakmu ? T: Bejo (Agan resapi bahwa nama bapak Anda adalah Bejo) A: Apa warna kesukaanmu ? T: Merah (Anda bayangkan agan suka warna merah, suka hal-hal/atribut yang berwarna merah, dll) Intinya, anda harus menganggap diri anda adalah diri teman anda! Resapi dan Imajinasikan !! 4. Merenung sejenak, resapi bahwa anda punya kepribadian seperti kepribadian teman anda, misalnya teman anda suka main PS dan pemalas,maka anda harus menganggap bahwa anda adalah seorang pemalas yang suka main PS. (teman-teman boleh ambil kepribadian apapun yang nampak pada diri teman anda) 5. Rileks lagi ! Sampai anda yakin bahwa cara berfikir, cara pandang, identitas, dan kondisi anda sudah sama dengan teman anda, dan anda berperan sebagai teman tadi. 6. Terakhir. beri aba-aba dan Suruh teman anda teriakkan angka yang dipilih tadi di dalam hatinya! (ingat, teriak dalam hati,jangan diucapkan!) 7. Plong ! saat itu juga dihati anda akan ada sebuah angka yang muncul dengan sendirinya. sebutkan langsung. 8. Dan Wow, teman anda pasti akan terkejut dan terheran-heran, karena angka yang anda sebutkan adalah angka yang dipilih dan diteriakkan dalam hati teman anda tadi. NB: Teman-teman harus rileks, ketika anda menyuruh teman meneriakkan angka didalam hatinya, anda tidak boleh membayangkan: angka berapa ya yang harus kupilih. Intinya hati anda tidak boleh terkontaminasi oleh angka-angka, karena angkanya nanti muncul sendiri. Teman-teman boleh melototin lukisan dinding, biar pikiran anda jauh dari angka-angka. Jangan takut salah, kalau anda takut salah sebut angka,maka anda akan ragu-ragu dan akan banyak pilihan angka lainnya, yang jelas fokuskan pikiran anda ke hal lain, lalu angka yang diteriakin di dalam hati temen anda AKAN MUNCUL DENGAN SENDIRINYA dihati teman-teman. LAKUKAN SEMUA ITU DENGAN SPONTAN, JANGAN RAGU-RAGU!!

Tes psikologi

Tes Psikologi Untuk Mengetahui Kepribadian Anda Tes psikologi melihat kepribadian kita – Berbicara tentang tes psikologi, sebenarnya ada begitu banyak macam tes psikologi. Fungsi dari tes psikologi ini biasanya untuk melihat kepribadian, Intelegensi, Wartegg test, analog verbal setiap individu. Menurut informasi yang dikutip dari halaman wikipedia, pengertian psikologi itu sendiri adalah sebuah bidang ilmu pengetahuan dan ilmu terapan yang mempelajari mengenai perilaku dan fungsi mental manusia secara ilmiah. Para praktisi dalam bidang psikologi disebut para psikolog. Para psikolog berusaha mempelajari peran fungsi mental dalam perilaku individu maupun kelompok, selain juga mempelajari tentang proses fisiologis dan neurobiologis yang mendasari perilaku. Adapun beberapa contoh tes psikologi, seperti: Macam-macam Tes Psikologi tes psikologi Tes Kepribadian TES PAULI: tes untuk mengukur sikap kerja dan prestasi kerja (daya tahan, keuletan, sikap terhadap tekanan, daya penyesuaian, ketekunan, konsistensi, kendali diri) DRAW A MAN TEST (DAM): Tes ini mengharuskan anda untuk menggambar sesorang, untuk kemudian anda deskripsikan usia, jenis kelamin dan aktifitas orang tersebut. Tes ini dipergunakan untuk mengatahui tanggung jawab, kepercayaan diri, kestabilan dan ketahanan kerja. Tes Intelegensi CFIT (Culture Fair Intelegence Test): tes untuk mengungkap kemampuan mental umum TKD (Tes Kemampuan Dasar) : tes untuk mengukur kemampuan dasar individu Dan masih banyak lagi tes psikologi lainnya. Tes psikologi di atas itu adalah test psikologi yang pada umumnya. Maksudnya yang sering digunakan. Sedangkan tes psikologi di bawah ini, menurut saya pribadi di buat oleh seorang psikolog itu sendiri, artinya tidak masuk dalam daftar test psikologi pada umumnya. Tapi 10 pertanyaan ini bisa menunjukkan kepribadian kita seperti apa. Jujur setelah saya menjawab 10 pertanyaan ini, hampir 80 % jawabannya mewakili diri saya. Jadi bagi yang berminat, silahkan lanjutkan membaca. Jangan lupa baca aturannya ya Aturan test : 1. Jangan di liat dulu jawabannya 2. Jawablah dengan berurutan 3. Jawab aja apa adanya menurut kata hatimu Bayangkan anda pergi ke suatu hutan, lalu di hutan tersebut anda melihat sebuah gubuk, pada gubuk tersebut anda melihat suatu pintu. 1.Bagimana kondisi pintu tersebut tersebut ?? Terbuka Tertutup lalu anda masuk ke gubuk tersebut dan anda melihat sebuah meja 2. Apa bentuk meja tersebut ?? Bulat Kotak Segitiga lalu anda melihat sebuah pot yang sedang tergantung di sekitar ruangan 3. Terbuat dari apakah pot tersebut ?? Guci,keramik ataw tanah liat Plastik Besi 4. Berapa banyak kah air didalam pot tersebut ?? Penuh Setengah Kosong Lalu anda keluar dari gubuk tersebut saat berjalan anda melihat sejumlah kunci 5. Terbuat dari apakah kunci tersebut ?? Emas Perak Besi 6. Berapakah jumlah kunci tersebut ?? ( pilih angka 1 sampai 10) Lalu anda berjalan kedepan dan anda melihat air terjun. Air terjun tersebut mengalir. 7. Berapakah derasnya aliran air terjun tersebut ( pilih angka 1-10 semakin tinggi angka yang anda pilih, aliran air semakin deras) Lalu anda berjalan kesebelah kanan anda melihat sebuah istana. Anda masuk kedalam istana tersebut. Didalam istana terdapat dua buah kolam. Di kolam yang pertama terdapat sejumlah koin yang terbuat dari emas tapi airnya kotor. Di kolam kedua terdapat banyak sekali koin yang terbuat dari perak dengan air cukup bersih 8. Pada situasi tersebut apa yang anda lakukan?? Mengambil koin emas pada kolam pertama Mengambil koin perak pada kolam kedua Tidak mengambil apa2 Lalu anda keluar dari istana tadi dan melihat sebuah kotak harta karun. 9. Gimana ukuran kotak tersebut?? Besar Sedang Kecil Disekitar daerah tersebut anda melihat seekor kuda dan sebuah kotak besar.Oh tidak, tiba2 tornado datang 10. Apa yang anda lakukan ?? Berlari menggunakan kuda Masuk kedalam kotak besar Berlari ketempat yang lebih aman. Inilah jawaban dari kesepuluh pertanyaan dari tes psikologi kepribadian di atas 1. Pintu Terbuka: Berarti anda orang yang terbuka pada sapa saja Tertutup: Anda orangnya tertutup 2. Bentuk meja Bulat : Anda berteman dengan sapa saja Kotak : Anda selektif dalam berteman Segitiga : Sangat pemilih dalam berteman 3. Bahan pot Guci,keramik ataw tanah liat : rendah hati dan berperasaan Plastik : fleksibel Besi : Keras kepala dan egois 4. Isi pot Penuh : Cita2 anda sudah tercapai Setengah : Cita2 baru tercapai sebagian Kosong : Cita2 anda belum tercapai 5. Kunci Emas : Berjiwa besar, penolong dan ramah Perak : Percaya diri, kreatif Besi : Anda orang biasa2 aja 6. Jumlah kunci 1-10 : Angka (1-10) menunjukkan jumlah teman/sahabat terdekat yang anda miliki. 7. Derasnya aliran air terjun menunjukkan gairah seks yang anda miliki 1-10 : Semakin tinggi angka yg anda pilih semakin tinggi pula gairah seks yg anda miliki. 8. Situasi Mengambil koin emas pada kolam pertama : Anda orangnya matre/komersil. Jika mencari pasangan lebih mengutamakan kekayaan. Mengambil koin perak pada kolam kedua : Jika memilih pasangan lebih mengutamakan tampang/fisik. Tidak mengambil apa2 : Apa adanya. 9. Ukuran kotak menunjukkan ego yang ada miliki. Besar : Egois Sedang : Biasa aja Kecil : Baik hati 10. Yang anda lakukan jika anda menghadapi masalah Berlari menggunakan Kuda : Membahas masalah tersebut bersama pasangan atau sahabat untuk penyelesaiannya. Masuk kedalam kotak besar : Memendam masalah tersebut. Berlari ketempat yang lebih aman : Menyelesaikan masalah sendiri Read more: http://www.wivrit.com/2013/09/tes-psikologi-untuk-mengetahui-kepribadian-anda.html#ixzz3zXGZ31nM

KATA MUTIARA ISLAMI

Allah selalu memberikan senyum dibalik kesedihan. Allah selalu memberikan Harapan dibalik keputus-asaan.. Ingatlah.. Allah selalu memberikan kelebihan dibalik kekurangan.. Allah selalu memberikan Kekuatan dibalik kelemahan.. Kita punya RENCANA. Allah juga punya RENCANA Akan tetapi sehebat apapun kita merencanakan sesuatu. Tetap rencana Allah adalah sebaik-baiknya rancangan. Ketika perjalanan hidup terasa MEMBOSANKAN. Maka Allah menyuruh kita untuk banyak BERSYUKUR. Ketika kesedihan menjatuhkan AIR MATA Maka Allah meminta kita untuk berusaha TERSENYUM . Ketika kita menginginkan sesuatu yang tak kunjung DIDAPATKAN. Maka Allah meminta kita untuk sabar MENUNGGU. ★ ... Ku hampiri seribu wajah, menampilkan bayangmu.. Berpendar suka cita dalam harap cinta.. Sesungguhnya SABAR akan indah jika kita selalu dekat dgn ALLAH InsyaAllah. Karena hidup ini terlalu singkat dan berharga jika di buang dengan orang yang TIDAK TEPAT (bukan jodoh kita)... Lebih baik MENUNGGU orang yang benar-benar kita harapkan.. Daripada menghabiskan waktu dengan orang yang tidak tepat.. Cinta bukan tentang bagaimana perasaan itu muncul.. Tapi bagaimana perasaan itu agar tetap utuh... Cinta bukan tentang jarak yang memisahkan.. Tapi tentang kepercayaan satu sama lain.. CINTA itu seperti menanam sebuah pohon, Jika kita SABAR pohon itu bisa menjadi pohon yang sangat besar dan kuat.. YA RABBANAA. Yg kami inginkan hanyalah kesempurnaan cinta_MU.. Karena hanya begitulah tidak akan ada rasa terluka dan kecewa pada akhirnya.. YA RABBANAA.. Satukan kekurangan kami dalam Ridha_MU.. Agar kekurangan itu dapat melebur menjadi kesempurnaan. YA RABBANAA.. Satukan kami dalam naungan cinta_MU.. Dan cintakan kami pada kebaikan.. Agar cinta kami dapat menyatu menjadi kebaikan.. Aku tak berharap kesempurnaanmu.. Kerana aku ingin melengkapinya dengan kekuranganku.. Aku tak berharap di pertemukan denganmu.. Tapi aku meminta dipersatukan dalam cinta_NYA..

PELUANG

MAT. 10. Irisan Kerucut i MAT. 10. Irisan Kerucut ii Peluang BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 2004 Kode MAT.07 MAT. 10. Irisan Kerucut iii Peluang Penyusun: Dra. Kusrini, M.Pd. Editor: Dr. Manuharawati, MSi. Dra. Mega Teguh Budiyanto, M.Pd. Kode MAT. 07 BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL 2004 MAT. 10. Irisan Kerucut iv Kata Pengantar Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul manual untuk SMK Bidang Adaptif, yakni mata pelajaran Fisika, Kimia dan Matematika. Modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi 2004 yang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competency Based Training). Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 2004 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri. Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar yang diharapkan dunia kerja dan industri. Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expertjudgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta diklat SMK. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi kerja yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya selalu relevan dengan kondisi lapangan. Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang MAT. 10. Irisan Kerucut v sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama tim penyusun modul (penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini. Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali kompetensi yang terstandar pada peserta diklat. Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya peserta diklat SMK Bidang Adaptif untuk mata pelajaran Matematika, Fisika, Kimia, atau praktisi yang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMK. Jakarta, Desember 2004 a. n. Direktur Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan, Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M. Sc. NIP 130 675 814 MAT. 10. Irisan Kerucut vi DAFTAR ISI Halaman Sampul.......................................................................... i Halaman Francis .......................................................................... ii Kata Pengantar ............................................................................ iii Daftar Isi …… .............................................................................. v Peta Kedudukan Modul.................................................................. vii Daftar Judul Modul ...................................................................... viii Glosary ……................................................................................ ix I. PENDAHULUAN A. Deskripsi ............................................................................... 1 B. Prasyarat ............................................................................... 1 C. Petunjuk Penggunaan Modul..................................................... 1 D. Tujuan Akhir ........................................................................... 2 E. Kompetensi............................................................................. 3 F. Cek Kemampuan ..................................................................... 4 II. PEMBELAJARAN A. Rencana Belajar Peserta Diklat .................................................. 5 B. Kegiatan Belajar ...................................................................... 6 1. Kegiatan Belajar 1............................................................... 6 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 6 b. Uraian Materi................................................................. 6 c. Rangkuman .................................................................. 15 d. Tugas .......................................................................... 16 e. Tes Formatif.................................................................. 18 f. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 18 2. Kegiatan Belajar 2 .............................................................. 19 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 19 b. Uraian Materi................................................................. 19 c. Rangkuman................................................................... 31 d. Tugas........................................................................... 32 e. Tes Formatif.................................................................. 33 f. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 34 MAT. 10. Irisan Kerucut vii 3. Kegiatan Belajar 3 .............................................................. 35 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran ........................................ 35 b. Uraian Materi................................................................. 35 c. Rangkuman................................................................... 41 d. Tugas........................................................................... 41 e. Tes Formatif.................................................................. 42 f. Kunci Jawaban Formatif .................................................. 43 III. EVALUASI ............................................................................... 45 KUNCI EVALUASI ...................................................................... 46 IV. PENUTUP ............................................................................... 47 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................. 48 MAT. 10. Irisan Kerucut viii PETA KEDUDUKAN MODUL MAT.10 MAT.15 MAT.01 MAT.02 MAT.03 MAT.05 MAT.07 MAT.08 MAT.09 MAT.11 MAT.12 MAT.14 MAT.06 MAT.04 MAT.13 MAT.16 MAT. 10. Irisan Kerucut ix Daftar Judul Modul No. Kode Modul Judul Modul 1 MAT.01 Matrik 2 MAT.02 Logika Matematika 3 MAT.03 Persamaan dan Pertidaksamaan 4 MAT.04 Geometri Dimensi Dua 5 MAT.05 Relasi Dan Fungsi 6 MAT.06 Geometri Dimensi Tiga 7 MAT.07 Peluang 8 MAT.08 Bilangan Real 9 MAT.09 Trigonometri 10 MAT.10 Irisan Kerucut 11 MAT.11 Statistika 12 MAT.12 Barisan 13 MAT.13 Aproksimasi Kesalahan 14 MAT.14 ProgramLinier 15 MAT.15 Vektor 16 MAT.16 Matematika Keuangan MAT. 10. Irisan Kerucut x Glossary ISTILAH KETERANGAN Perkalian Jika suatu prosedur dapat dinyatakan dalam n1 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur kedua yang dapat dinyatakan dengan n2 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur ketiga yang dinyatakan dengan n3 cara berbeda dan seterusnya, maka banyak cara prosedurprosedur tersebut dapat dinyatakan dengan hasil kali n1.n2.n3… Faktorial Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu 1.2.3. ... (n-2).(n-1).n sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial). Jadi 1.2.3. ... (n-2).(n-1).n = n!. Permutasi Suatu susunan n objek dalam urutan tertentu. Susunan sembarang r obyek (r n) dari n objek dalam urutan tertentu disebut permutasi r atau permutasi r objek dari n objek yang diketahui. Kombinasi Suatu kombinasi r objek dari n objek, adalah pemilihan r objek dari n objek yang urutannya tidak diperhatikan (tanpa memperhatikan urutannya). Jadi susunan ab dianggap sama dengan ba. Permutasi dengan perkalian. Banyaknya permutasi dari n obyek yang dari padanya terdapat n1 obyek sama, n2. Kejadian saling bebas. Suatu kejadian B dikatakan independen (bebas) dari kejadian A jika peluang terjadinya B tidak terpengaruh oleh terjadi atau tidaknya kejadian A, atau jika peluang dari B sama dengan peluang bersyarat dari B dengan syarat A, yaitu : P(B) = P(B/A) Eksperimen Prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu, dimana kondisi itu dapat diulang-ulang beberapa kali pada kondisi yang sama, dan setelah prosedur itu selesai berbagai hasil dapat diamati. Peluang Tiap-tiap elemen S dianggap mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Kepastian suatu kejadian yang pasti terjadi, dan peluangnya sama dengan 1. Kemustahilan Jadi suatu kemustahilan adalah suatu kejadian yang mustahil terjadi, dan peluangnya sama dengan 0. MAT. 07. Peluang 1 BAB I. PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini anda akan mempelajari 3 kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 adalah kaidah pencacahan, kegiatan belajar 2 adalah peluang suatu kejadian, dan kegiatan belajar 3 adalah frekuensi harapan, kejadian yang saling bebas dan kejadian yang saling lepas. Dalam kegiatan belajar 1, yaitu kaidah pencacahan, akan diuraikan mengenai perkalian, faktorial, permutasi r obyek dari n obyek, permutasi n obyek, dan kombinasi r obyek dari n obyek beserta penggunaannya dalam menyelesaikan masalah. Dalam kegiatan belajar 2, yaitu peluang suatu kejadian, akan diuraikan mengenai ruang sampel beserta titik sampel, kejadian, peluang suatu kejadian, kepastian dan kemustahilan. Dalam kegiatan belajar 3, akan diuraikan mengenai frekuensi harapan, kejadian yang saling bebas, dan kejadian yang saling lepas. B. Prasyarat Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah teori himpunan elementer, yaitu tentang himpunan, keanggotaan, operasi dalam himpunan, dan relasi antar himpunan. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul relasi dan fungsi. C. Petunjuk Penggunaan Modul. Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Pelajari daftar isi serta skema modul dengan cermat, karena daftar isi dan skema akan menuntun anda dalam mempelajari modul ini dan kaitannya dengan modul-modul yang lain. MAT. 07. Peluang 2 2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya. 3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait. 5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan. D. Tujuan Akhir. Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Menggunakan kaidah pencacahan dalam memecahkan masalah, 2. Menggunakan rumus permutasi untuk memecahkan masalah, 3. Menggunakan rumus kombinasi untuk memecahkan masalah, 4. Mencari besarnya peluang suatu kejadian, 5. Menentukan kepastian dan kemustahilan suatu kejadian, 6. Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian, 7. Menentukan apakah dua kejadian saling lepas, 8. Menentukan apakah dua kejadian saling bebas. MAT. 07. Peluang 3 E. Kompetensi KOMPETENSI : PELUANG PROGRAM KEAHLIAN : Program adaptif Mata Diklat/Kode : MATEMATIKA/MAT 07 DURASI PEMBELAJARAN : 24 Jam @ 45 menit SUB MATERI POKOK PEMBELAJARAN KOMPETENSI KRITERIA KINERJA LINGKUP BELAJAR SIKAP PENGETAHUAN KETERAMPILAN 1. Mendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi. Kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi digunakan untuk menentukan banyaknya cara. Kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi. Kritis dan logis dalam menyelesaikan masalah peluang. Kaidah pencacahan. Faktorial. Permutasi dari n unsur. Kombinasi dari n unsur. Penggunaan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan masalah kejuruan. Membedakan permutasi dan kombinasi suatu kejadian. 2. Menghitung peluang suatu kejadian. Peluang suatu kejadian dihitung dengan menggunakan rumus. Peluang suatu kejadian. Kritis dan logis dalam menyelesaikan masalah peluang. Peluang suatu kejadian. Kepastian dan kemustahilan. Frekuensi harapan suatu kejadian. Peluang kejadian saling lepas. Peluang kejadian saling bebas. Memahami dan mampu menyelesaikan masalah peluang suatu kejadian. MAT. 07. Peluang 4 F. Cek kemampuan Kerjakanlah soal-soal berikut ini, jika anda dapat mengerjakan sebagian atau semua soal berikut ini, maka anda dapat meminta langsung kepada instruktur atau guru untuk mengerjakan soal-soal evaluasi untuk materi yang telah anda kuasai pada BAB III. 1. Jelaskan kapan digunakannya kaidah perkalian! 2. Apakah n faktorial itu? 3. Jelaskan apa yang disebut dengan permutasi r obyek dari n obyek? Bagaimanakah rumusnya? 4. Jelaskan apa yang disebut dengan permutasi n obyek? Bagaimanakah rumusnya? 5. Pada kejadian yang bagaimana digunakan rumus permutasi ? 6. Jelaskan apa yang disebut dengan kombinasi r obyek dari n obyek? Bagaimanakah rumusnya? 7. Pada kejadian yang bagaimanakah digunakan rumus kombinasi? 8. Apakah perbedaan antara permutasi dan kombinasi? 9. Apakah yang disebut dengan peluang suatu kejadian? 10. Apakah yang disebut dengan kepastian, dan apa pula yang disebut dengan kemustahilan? 11. Bagaimanakah cara mencari harapan terjadinya suatu peristiwa? 12. Kapankah dua kejadian dikatakan saling bebas? 13. Kapankah dua kejadian dikatakan saling lepas? 14. Apakah dua kejadian yang saling lepas tentu bebas? 15. Apakah dua kejadian yang saling bebas tentu lepas? MAT. 07. Peluang 5 BAB II. PEMBELAJARAN Kompetensi : Menerapkan konsep peluang. Sub Kompetensi : - Mendeskripsikan kaidah pencacahan - Menghitung peluang suatu kejadian Tulislah semua jenis kegiatan yang anda lakukan di dalam tabel kegiatan di bawah ini. Jika ada perubahan dari rencana semula, berilah alasannya kemudian mintalah tanda tangan kepada guru atau instruktur anda. Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar Alasan perubahan Tandatang an Guru A. Rencana Belajar Peserta Diklat MAT. 07. Peluang 6 1. Kegiatan Belajar 1: Kaidah Pencacahan a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: Memahami dan menggunakan perkalian untuk menyelesaikan masalah. Memahami dan menggunakan faktorial dalam menyelesaikan masalah. Menyebutkan definisi permutasi r unsur dari n unsur dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Menyebutkan definisi permutasi n unsur dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Menyebutkan definisi kombinasi r unsur dari n unsur dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. Membedakan penggunaan permutasi dan kombinasi suatu kejadian. b. Uraian Materi PERKALIAN Misal suatu plat nomor sepeda motor terdiri atas dua huruf berbeda yang diikuti tiga angka dengan angka pertama bukan 0. Berapa banyak plat nomor berbeda yang dapat dibuat? Huruf pertama dapat dipilih dari 26 huruf berbeda, Huruf kedua dapat dipilih dari 25 huruf berbeda, Angka pertama dapat dipilih dari 9 angka berbeda, Angka kedua dapat dipilih dari 10 angka berbeda, Angka ketiga dapt dipilih dari 10 angka berbeda. Jadi ada 26 25 9 10 10 585.000 plat nomor berbeda yang dapat dibuat. B. KEGIATAN BELAJAR MAT. 07. Peluang 7 Secara umum Jika suatu prosedur dapat dibentuk dalam n1 cara berbeda, prosedur berikutnya, yaitu prosedur kedua dapat dibentuk dalam n2 cara berbeda, prosedur berikutnya, yaitu prosedur ketiga dapat dibentuk dalam n3 cara berbeda, dan seterusnya, maka banyak cara berbeda prosedur tersebut dapat dibentuk adalah n1 n2 n3 . . . FAKTORIAL Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu 1.2.3. ... (n-2).(n-1).n sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial). Jadi 1.2.3. ... (n-2).(n-1).n = n! 1.2.3. ... (n-2)(n-1)n = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1, sehingga Selanjutnya didefinisikan: Contoh 1 1) 2! = 1.2 = 2.1 = 2 2) 5! = 1.2.3.4.5 = 5.4.3.2.1 = 120 3) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! 4) 7 6 ! 7.6 ! 6 ! 7 !  5) 56 6 ! 8.7.6 ! 6 ! 8!  n! = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1. 1! = 1 dan 0 ! = 1 MAT. 07. Peluang 8 Banyaknya permutasi r obyek dari n obyek dinotasikan dengan P(n,r) PERMUTASI Suatu susunan n objek dalam urutan tertentu disebut suatu permutasi dari n objek tersebut. Susunan sembarang r obyek (r n) dari n objek dalam urutan tertentu disebut permutasi r atau permutasi r objek dari n objek yang diketahui. Contoh 2 Perhatikan huruf-huruf a, b, c dan d Maka: 1) bdca, dcba dan acdb merupakan beberapa permutasi dari 4 huruf. 2) bad, adb, dan bca merupakan beberapa permutasi 3 huruf dari 4 huruf yang diketahui. 3) ad, cb, da, dan bd merupakan beberapa permutasi 2 huruf dari 4 huruf yang diketahui. Elemen pertama dari permutasi n objek dapat dipilih dalam n cara yang berbeda, berikutnya elemen kedua dalam permutasi dapat dipilih dalam n-1 cara, dan berikutnya elemen ketiga dalam permutasi dapat dipilih dalam n-2 cara. Begitu seterusnya, dengan cara yang sama, kita dapatkan elemen ke-2 (elemen yang terakhir) dalam permutasi r objek dapat dipilih dalam n – (r – 1) cara atau n – (r – 1) = n – r + 1 cara. Teorema 1 P(n,r) = n(n-1)(n-2) ...(n-r+1) atau  ! ! , n r n P n r   MAT. 07. Peluang 9 Membuktikan (n(n-1)(n-2) .... (n-r+1) = ! ! n r n  adalah sebagai berikut: n(n – 1)(n – 2) .... (n – r + 1) = (n r) ! n(n 1)(n 2)....( n r 1).(n r) !   = ( ) ! ! n r n  Contoh 3 P(5,3) = 60 2 ! 5 ! (5 3) ! 5 !   Contoh 4 Ada 3 buah kelereng berwarna, kuning, hijau, dan biru dalam suatu kotak. Tanpa melihat terlebih dahulu, akan diambil 2 kelereng dari 3 kelereng dalam kotak tersebut. Ada berapa macam kelereng yang mungkin terambil? Jawab Banyak macam kelereng yang mungkin terambil adalah P(3,2) = 3 macam, yaitu kelereng berwarna 1. kuning dan hijau, 2. kuning dan biru, 3. hijau dan biru. Jika r = n, maka didapatkan: P(n,n) = ! ! n r n  = 0 ! n ! = 1 n ! = n ! Teorema Akibat Ada n! permutasi dari n objek atau: P(n,n) = n ! MAT. 07. Peluang 10 Contoh 5 Ada 3 orang akan membeli makanan. Penjual melayani satu demi satu secara berurutan. Ada berapa macam urutan pada waktu melayani 3 orang pembeli tersebut? Jawab Misal ketiga orang tersebut adalah A, B, dan C. Banyak urutan pada waktu melayani ketiga orang tersebut adalah P(3,3) = 3 ! = 3.2.1 = 6 urutan. Urutan dalam melayani tersebut adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. PERMUTASI DENGAN PENGULANGAN Kadang-kadang kita ingin mengetahui banyaknya permutasi dari objekobjek yang beberapa di antaranya sama. Untuk itu digunakan teorema seperti berikut ini. Teorema 2 Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiri atas n 1 objek sama, n 2 objek sama, .... ,n r objek sama adalah: n !.n !...n ! n ! 1 2 r Andaikan kita ingin membentuk semua kemungkinan dari 5 huruf yang terdapat pada kata MAMMI. Dalam kata MAMMI terdapat huruf yang sama, yaitu M sebanyak 3 buah. Jika ketiga huruf M tersebut dibedakan, yaitu M1, M2, dan M3, maka ada 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120 permutasi dari huruf-huruf M1, A, M2, M3, I. Perhatikan keenam permutasi berikut ini: M1M2M3AI M1M3M2AI M2M1M3AI M2M3M1AI MAT. 07. Peluang 11 M3M1M2AI M3M2M1AI Jika indeksnya dihapus, maka keenam permutasi tersebut menjadi sama. Keenam permutasi tersebut berasal dari kenyataan bahwa ada 3 ! = 6 cara yang berbeda dari penempatan tiga M dalam posisi pertama pada permutasi. Oleh karena itu ada 20 6 120 3 ! 5 ! permutasi yang dapat dibentuk oleh 5 huruf dari kata “MAMMI” tersebut. Contoh 6 Hitunglah banyaknya permutasi yang berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf pada tiap kata berikut ini. 1) PERMUTASI 2) EKSAKTA 3) MATEMATIKA Jawab 1) Kata “PERMUTASI” yang terdiri atas 9 huruf yang berbeda. Maka banyaknya permutasi dari ke-9 huruf yang terdapat dalam kata “PERMUTASI” = 9 ! = 322880. 2) Kata “EKSAKTA” terdiri atas 7 huruf. Ternyata di antaranya ada yang sama, yaitu huruf K (sebanyak 2 buah) dan huruf A (sebanyak 2 buah). Maka banyaknya permutasi ke-7 huruf pada kata “EKSAKTA” adalah 1260 2 7.6.5.4.3 2 ! 2 ! 7 !  3) Kata “MATEMATIKA” terdiri dari 10 huruf, dan di antaranya ada huruf yang sama, yaitu huruf A (3 buah), huruf T (2 buah), dan M (2 buah). Maka banyaknya permutasi dari ke-10 huruf pada kata “MATEMATIKA” = 3022400 2 10.9.8.7.6.5.4 3 ! 2 ! 2 ! 10 !  KOMBINASI Misalkan kita mempunyai sebuah kumpulan n objek. Suatu kombinasi r objek dari n objek, adalah pemilihan r objek dari n objek yang urutannya tidak MAT. 07. Peluang 12 diperhatikan (tanpa memperhatikan urutannya). Jadi susunan ab dianggap sama dengan ba. Notasi banyak kombinasi r objek dari n objek adalah: C(n, r) atau nr atau C r n     Contoh 7 Banyaknya kombinasi 3 huruf dari huruf a, b, c dan d adalah: abc, abd, acd, bcd. acd, bcd. Perhatikan bahwa kombinasi-kombinasi abc, acb, bca, cab, cba, ternyata terdiri dari huruf-huruf yang sama, yaitu a, b dan c. Karenanya dianggap sebagai satu kombinasi. Jadi banyaknya kombinasi 3 huruf dari huruf a, b, c, d adalah: C(n, r) = C(4, 3) =      3 4 = 4 Ternyata banyaknya kombinasi 3 huruf dari 4 huruf a, b, c, d adalah 4, dan bahwa tiap kombinasi yang terdiri dari 3 huruf itu menentukan 6 permutasi (= 3!) dari huruf-huruf dalam kombinasi. Tentukan 6 permutasi (= 3!) dari huruf-huruf dalam kombinasi. Perhatikan diagram berikut: Kombinasi Permutasi abc abc, acb, bac, bca, cab, cba abd abd, adb, bad, bda, dab, dba acd acd, adc, cad, cda, dac, dca bcd bcd, bdc, cdb, cbd, dbc, dcb Jadi bila banyaknya kombinasi 3 huruf dari 4 huruf dikalikan dengan 3! maka hasilnya sama dengan banyaknya permutasi 3 huruf dari 4 huruf. C(4, 3).3 ! = P(4, 3) Atau: MAT. 07. Peluang 13 C(4, 3) = 3! P(4,3) Karena banyak kombinasi r objek dari n objek menentukan r! permutasi dari objek-objek tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa: P(n, r) = r ! C(n, r) Atau C(n,r) = Ingat bahwa P(n, r) = (n r) ! n !  Contoh 8 Jika dari suatu kepengurusan suatu organisasi yang terdiri dari 8 orang ingin membentuk pengurus inti 3 orang sebagai Ketua, Sekretaris, dan Bendahara, maka dapat dibentuk: C(8, 3) = 6 8.7.6 (3.2.1)(5.4.3.2.1) 8.7.6.5.4.3.2.1 3 ! 5 ! 8 ! 3 ! (8 3) ! 8 ! 3 8        = 56 pengurus inti yang berbeda Teorema 3 C(n, n-r) = C(n, r) Bukti: C(n, n-r) = ( ) ! ! ! ( ) ! ( ( )) ! ! n r r n n r n n r n    C(n, r) = ( , ) ! ( ) ! ! C n n r r n r n   Terbukti: C(n, n-r) = C(n, r) ! ( ) ! ! ! ( , ) r n r n r P n r r n       MAT. 07. Peluang 14 Teorema 4 C(n + 1, r) = C(n, r-1) + C(n, r) Bukti: C(n+1, r) = ! ( ( 1)) ! ( 1) ! ! ( 1 ) ! ( 1) !      r n r n r n r n C(n, r-1) = ! ( ( 1)) ! ! ( 1) ! ( ( 1)) ! !   r n r n r r n r n C(n, r) = ! ( ( 1)) ! ! ( 1) ! ( ) ! !    r n r n n r r n r n C(n, r-1) + C(n, r) = ! ( ( 1)) ! ! ( 1) ! ( ( 1)) ! !    r n r n n r r n r n r = ( ( 1)) ! ( ( 1)) ! !   r n r r n r n = ( 1) ! ( ( 1)) ! !   n r n r n = ( 1, ) ! ( ( 1)) ! ( 1) ! C n r r n r n    Terbukti: C(n+1, r) = C(n, r-1) + C(n, r) Contoh 9 1) C(5, 3) = 10 3 ! 2 ! 5 !  C(5, 2) = 10 3 ! 2 ! 5 !  Jadi: C(5, 3) = C(5, 2) 2) C(6, 4) = 15 4 ! 2 ! 6 !  MAT. 07. Peluang 15 C(5, 3) = 10 3 ! 2 ! 5 ! ; C(5, 4) = 5 4 !1 ! 5 !  Jadi: C(5, 3) + C(5, 4) = 10 + 5 = 15 = C(6, 4) c. Rangkuman 1 KAIDAH PENCACAHAN Perkalian Jika suatu prosedur dapat dinyatakan dalam n1 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur kedua yang dapat dinyatakan dengan n2 cara berbeda dan dilanjutkan dengan prosedur ketiga yang dinyatakan dengan n3 cara berbeda dan seterusnya, maka banyak cara prosedur-prosedur tersebut dapat dinyatakan dengan hasil kali n1.n2.n3… Faktorial Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu 1.2.3…(n - 2).(n - 1).n sering digunakan dalam matematika, yang diberi notasi n! (dibaca n faktorial). Jadi 1.2.3…(n - 2) (n - 1).n = n! 1.2.3…(n - 2) (n - 1)n = n(n - 1) (n - 2) … 3.2.1. Sehingga n! = n(n - 1) (n - 2) … 3.2.1. Dalam hal ini didefinisikan : 1! = 1 dan 0! = 1. Permutasi Suatu susunan dari sekumpulan n obyek dalam suatu urutan yang tertentu disebut suatu permutasi dari n obyek tersebut. Susunan dari sebarang r < n dari obyek tersebut dalam urutan yang tertentu disebut suatu permutasi r obyek dari n obyek yang diketahui. MAT. 07. Peluang 16 Permutasi dengan Pengulangan Banyaknya permutasi dari n obyek yang dari padanya terdapat n1 obyek sama, n2 obyek sama, …, nr obyek sama adalah : Kombinasi Misalkan kita mempunyai sebuah kumpulan n obyek. Suatu kombinasi r obyek dari n obyek, adalah pemilihan r obyek dari n obyek dimana urutan tidak diperhatikan. Jadi susunan ab dianggap sama dengan ba. Notasi kombinasi r obyek dari n obyek adalah : C(n , r) atau ( r n ) atau n r C d. Tugas 1 1) Di kelas matematika, ada 24 peserta pelatihan. Berturut-turut akan dipilih seorang Ketua kelas, Sekretaris, dan Bendahara. Ada berapa banyak pasangan (Ketua kelas, Sekretaris, Bendahara) yang dapat dipilih? 2) Plat sepeda motor di Daerah Istimewa Jogjakarta adalah: AB Angka 2 huruf berbeda Dalam sehari, PT SURYA -CANDRA dapat membuat 500 plat nomor yang berbeda. Berapa hari yang diperlukan oleh PT SURYA-CANDRA untuk membuat plat nomor sepeda motor Daerah Istimewa Jogjakarta seluruhnya? n! n1!.n2! … n r! MAT. 07. Peluang 17 3) Di meja ada 4 macam makanan, yaitu donat, pisang goreng, tahu goreng, dan lemper. Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil 2 jenis makanan. Berapa banyak cara yang mungkin dalam pengambilan itu? 4) Bu Brata mempunyai sebuah kopor dengan kunci kombinasi 3 angka. Waktu akan membukanya, dia lupa nomor kodenya. Dia minta tolong pada pak Brata untuk membukanya. Jika 1 kombinasi kunci memerlukan waktu 3 detik, berapa lama waktu yang diperlukan pak Brata untuk membukanya? 5) Pada sebuah pesta, dalam berapa cara 7 orang dapat duduk dalam satu baris dengan 7 kursi? 6) Dari 7 orang pada soal nomor 5), dipanggil berturut-turut 2 orang untuk mendapatkan hadiah. Ada berapa banyak pilihan dalam pemanggilan itu? 7) a. Dalam berapa cara 3 pria dan 2 wanita dapat duduk dalam satu baris? b. Ada berapa cara bagi mereka untuk dapat duduk dalam suatu baris jika ketiga pria dan kedua wanita tersebut masing-masing duduk berdampingan. 8) Di kelas matematika, ada 24 peserta pelatihan. Akan dipilih 3 orang untuk menjadi Ketua kelas, Sekretaris, dan Bendahara sebagai pengurus inti. Ada berapa banyak pengurus inti yang dapat dibentuk? 9) Ada 6 bendera terdiri atas 4 bendera merah dan 2 bendera biru. Ada berapa cara ke enam bendera tersebut dapat disusun dalam satu deretan? 10) Dalam ujian, seorang siswa disuruh menjawab 8 soal dari 10 soal yang diajukan. a. Berapa banyak pilihan yang dia punyai? b. Jika harus menjawab 3 soal yang pertama, berapa banyak pilihan yang dia punyai? 11) Berapakah banyak cara dalam pemilihan suatu pengurus inti yang terdiri atas 3 pria dan 2 wanita dari 7 pria dan 5 wanita? 12) Berapakah ! ( 2) ! n n  ? MAT. 07. Peluang 18 13) Berapakah banyaknya cara, jika 3 orang dari kota Surabaya, 4 orang dari Jakarta dan 2 orang dari Bandung duduk dalam satu baris sehingga yang sekota duduk berdampingan? 14) Berapakah banyaknya permutasi yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata “ALJABAR”? e. Tes Formatif 1 Kerjakanlah soal-soal berikut dengan cermat! 1. Sebuah kopor mempunyai kunci kombinasi yang terdiri atas 3 angka dari 0 sampai dengan 5. Berapakah banyak kombinasi yang mungkin? 2. Ada 6 orang yang akan antri untuk membeli tiket bioskop. Berapakah banyak cara ke 6 orang tersebut antri ? 3. Dari suatu kelas yang terdiri atas 20 siswa secara acak ditunjuk 2 siswa untuk mewakili kelas tersebut untuk diuji kemampuan mengoperasikan komputer. Berapa banyak cara menunjuk 2 siswa tersebut? f. Kunci Jawaban Tes Formatif 1 1. Ada 3 angka, dan masing-masing angka pilihannya dari 0 sampai 5(ada 6 pilihan). Jadi ada 6 X 6 X 6 = 216 kombinasi. 2. Ada 6 orang yang akan antri. Karena dalam antri mengandung makna urutan , maka dalam perhitungannya menggunakan permutasi. Jadi ada 6! = 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 720 cara. 3. Ada 20 siswa dan 2 siswa ditunjuk secara acak. Karena dalam penunjukan tidak ada makna urutan, maka perhitungannya menggunakan kombinasi. Jadi ada C(20,2) = 190 cara. MAT. 07. Peluang 19 2. Kegiatan Belajar 2 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: Menentukan ruang sampel, titik sampel, dan kejadian. Mencari besarnya peluang suatu kejadian. Menentukan apakah suatu kejadian merupakan kepastian atau kemustahilan. b. Uraian Materi RUANG SAMPEL, TITIK SAMPEL, DAN KEJADIAN Dari pandangan intuitif, peluang terjadinya suatu peristiwa atau kejadian adalah nilai yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan peristiwa itu akan terjadi. Misalnya, peluang yang rendah menunjukkan kemungkinan terjadinya peristiwa itu sangat kecil. Konsep peluang berhubungan dengan pengertian eksperimen yang menghasilkan “hasil” yang tidak pasti. Artinya eksperimen yang diulang-ulang dalam kondisi yang sama akan memberikan “hasil” yang dapat berbeda-beda. Istilah eksperimen yang kita gunakan disini tidak terbatas pada eksperimen dalam laboratorium. Melainkan, eksperimen kita artikan sebagai prosedur yang dijalankan pada kondisi tertentu, dimana kondisi itu dapat diulang-ulang beberapa kali pada kondisi yang sama, dan setelah prosedur itu selesai berbagai hasil dapat diamati. Himpunan S dari semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen yang diberikan disebut ruang sampel. Suatu hasil yang khusus, yaitu suatu elemen dalam S, disebut suatu titik sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S. kejadian { a } yang terdiri atas suatu titik sampel tunggal aS disebut suatu kejadian yang elementer (sederhana). Notasi yang biasa digunakan adalah sebagai berikut. Untuk ruang sampel: S. MAT. 07. Peluang 20 Untuk kejadian huruf-huruf capital, seperti : A, B, …, X, Y, Z. Untuk titik sampel, huruf-huruf kecil, seperti a, b, …, y, z atau dengan : a1, a2, …x1, x2, …, x n … Contoh 1 Eksperimen : Melambungkan sebuah dadu satu kali dan dilihat banyaknya mata dadu yang tampak/muncul (yang di atas). Ruang sampel : Dadu mempunyai 6 sisi, dan masing-masing sisi bermata satu, dua, tiga, empat,lima dan enam. Himpunan semua hasil yang mungkin dari lambungan tersebut adalah : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jadi ruang sampelnya : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Titik sampel : Titik sampel merupakan suatu elemen dari ruang sampel S. elemen-elemen dari S adalah : 1, 2, 3, 4, 5, 6. jadi titik sampelnya : 1 atau 2 atau 3 atau 4 atau 5 atau 6. Kejadian : Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Misalkan: A = kejadian bahwa muncul mata genap B = kejadian bahwa muncul mata ganjil C = kejadian bahwa muncul mata prima Maka: A = {2, 4, 6} ; B = {1, 3, 5} ; C = {2, 3, 5} Kejadian yang elementer sederhana adalah kejadian yang terdiri atas satu titik sampel. Misalkan: D = kejadian bahwa muncul mata prima yang genap. Maka D = {2} Contoh 2 Eksperimen : Melambungkan sebuah mata uang tiga kali dan dilihat deretan dari sisi muka (M) dan sisi belakang (B) yang tampak. MAT. 07. Peluang 21 Ruang sampel : Satu mata uang dilambungkan tiga kali. Maka kemungkinan sisi yang tampak adalah : MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM,BBB. Jadi ruang sampelnya: S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB} Titik sampel : Merupakan elemen dari ruang sampel S. jadi titik sampelnya : MMM, MMB, MBB, MBM, BMM, BMB, BBM, BBB. Kejadian : Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S. Misalkan : A = kejadian muncul 2 sisi M atau lebih B = kejadian bahwa ketiga lambungan menghasilkan sisi yang sama Maka : A = {MMM, MMB, MBM, BMM} B = {MMM, BBB}. Kejadian yang elementer/sederhana adalah kejadian yang terdiri atas satu titik sampel. Misalkan C = kejadian bahwa dari tiga lambungan muncul sisi M semua. Maka C = { MMM } Kita dapat mengkombinasikan kejadian-kejadian untuk membentuk kejadian-kejadian baru dengan menggunakan berbagai operasi himpunan. Definisi 1) A B merupakan kejadian/peristiwa yang terjadi jika kejadian A terjadi atau B terjadi atau keduanya terjadi 2) A B merupakan kejadian yang terjadi jika A terjadi dan B terjadi 3) Ac, yaitu komplemen dari A, adalah kejadian yang terjadi jika A tidak terjadi. MAT. 07. Peluang 22 Dengan diagram Venn dapat disajikan sebagai berikut: Gambar yang diarsir adalah gambar A B Contoh 3 Kita lihat kembali contoh 1. Eksperimen : melambungkan sebuah dadu dan diperhatikan jumlah mata yang tampak/muncul (pada sisi yang terletak di atas). Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = kejadian tampak/ muncul mata ganjil = {1, 3, 5} C = kejadian tampak/muncul mata prima = {2, 3, 5} Maka : Jika P kejadian tampak/muncul ganjil atau prima, P = B C = {1, 2, 3, 5} Jika Q kejadian tampak/muncul mata ganjil dan prima, Q = B C ={3, 5} Jika R kejadian bahwa mata prima tidak tampak/muncul, maka R = Cc = {2, 3, 5}c = {1, 4, 6} DEFINISI PELUANG Misal dalam eksperimen pelemparan/lambungan sebuah dadu diperhatikan banyaknya mata yang muncul. Misalkan A adalah kejadian bahwa muncul (tampak) mata genap. Maka S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }dan A = { 2, 4, 6 }. Tiap-tiap elemen S dianggap mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Hal yang penting dalam masalah ini adalah perbandingan antara banyaknya elemen dalam A, yaitu n(A) dan banyaknya elemen dalam S, yaitu n(S) ; n(S) = 6. A B S MAT. 07. Peluang 23 ( ) ( ) n S n A = banyaknya elemen dalam S banyaknya elemen dalam A = 6 3 = 2 1 Angka perbandingan ini, yaitu 2 1 , dinamakan peluang/kemungkinan terjadinya kejadian A. Definisi 1 Misalkan suatu ruang sampel S mempunyai elemen yang banyaknya berhingga, yaitu n(S) = N, dan tiap-tiap elemen dari S mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi. Misalkan pula A adalah suatu kejadian (himpunan bagian dari S), yang mempunyai elemen sebanyak n(A). Maka peluang P bahwa kejadian A akan terjadi, didefinisikan sebagai : P(A) = ( ) ( ) n S n A Contoh 4 Jika dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali, dan A kejadian bahwa jumlah mata yang muncul dari kedua dadu sama dengan 8. Kita lihat hasil yang mungkin dari lambungan kedua dadu tersebut. Dadu II Dadu I Titik sampelnya merupakan pasangan-pasangan mata yang muncul dari kedua dadu tersebut. Titik sampel (a,b) dimaksudkan a merupakan mata yang muncul pada dadu I dan b merupakan mata yang muncul pada dadu II. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) MAT. 07. Peluang 24 Ruang sampel S = {(1,1), (1,2), (1,3), … , (6,5), (6,6)} dan n(S) = 36 Kejadian A = kejadian bahwa jumlah mata yang muncul sama dengan 8 A = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} dan n (A) = 5 Karena n(S) = 36 dan n(A) = 5, maka peluang terjadinya peristiwa/kejadian A adalah P(A) = 36 5 ( ) ( )  n S n A Contoh 5 Sebuah kotak berisi 100 bola, diantaranya terdapat sebanyak 40 bola putih dan 60 bola merah. Semua bola dalam kotak dicampur. Kemudian dari dalam kotak tersebut diambil satu bola tanpa melihat terlebih dahulu. Misalkan, kejadian A adalah kejadian bahwa bola yang terambil putih dan B adalah kejadian bahwa bola yang terambil merah. Maka Peluang terjadinya kejadian A, yaitu P(A) : P(A) = 5 2 100 40  banyak bola dalam kotak banyak bola putih dalam kotak Peluang dari kejadian B, yaitu P(B) : P(B) = 5 3 100 60  banyak bola dalam kotak banyak bola merah dalam kotak Definisi 2 Dua kejadian A dan B yang tidak mempunyai elemen yang berserikat, yaitu A B = dinamakan dua kejadian yang saling asing (atau “disjoint”). A B S MAT. 07. Peluang 25 Contoh 6 Jika dua buah dadu dilambungkan satu kali, dan dilihat pasangan mata yang muncul/tampak. A = kejadian bahwa jumlah mata yang muncul 8 B = kejadian bahwa jumlah mata yang muncul kurang dari 5 Maka: A = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)} B = {(1,1), (1,2), (2,1),(3,1), (2,2), (1,3)} A B =  Jadi kejadian A dan B saling asing/disjoint. Kita akan menganalisis konsep peluang dengan anggapan bahwa ruang sampel S memuat berhingga banyak hasil yang mungkin terjadi dan semuanya berkemungkinan sama untuk terjadi. Kemudian, untuk peluang kejadian A, kita gunakan definisi 1. Dengan dasar ini kita akan menyajikan beberapa aksioma peluang yang sangat penting, tanpa mengingat eksperimennya dan kemungkinan terjadinya tiap peristiwa yang ada tidak harus sama. Definisi 3 Misal S adalah ruang sampel dan A adalah sebarang kejadian dalam S. Maka P disebut fungsi peluang pada ruang sampel S apabila dipenuhi aksiomaaksioma berikut. (A1). Untuk setiap kejadian A, 0 = P(A) = 1 (A2). P(S) = 1 (A3). Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka : P(A B) = P(A) + P(B) (A). Jika A 1, A2, …, merupakan deretan kejadian yang saling asing maka: P(A1 A2 … ) = P(A 1) + P(A 2) + … MAT. 07. Peluang 26 Contoh 7 Kita lihat kembali contoh 6 di muka: A = {(6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6)}; n(A) = 5; P(A) = 36 5 B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (1,3), (3,1)}; n(B) = 6; P(B) = 36 6 Karena A dan B saling asing ( A B = ), maka: Menurut aksioma (A3), P(A B) = P(A) + P(B) = 36 11 36 6 36 5  Selanjutnya, berdasarkan aksioma-aksioma tersebut dapat kita buktikan teorema-teorema berikut ini. Teorema 1 P() = 0 Bukti : Misalkan A sebarang kejadian (himpunan bagian dari S) Maka A= A Dengan aksioma (A3), P(A) = P(A ) = P(A) + P() Jadi P(A) = P(A) + P() Kedua ruas dikurangi dengan P(A), didapatkan : P() = 0 Teorema 2 P(Ac) = 1 - P(A) Bukti : S = AAc; di mana A dan A c saling asing Dari (A 2) : P(S) = 1 Karena S = A Ac, maka menurut aksioma (A3) 1 = P(S) = P(A Ac) = P(A) + P(A c) atau MAT. 07. Peluang 27 1 = P(A) + P(A c) . Jadi P(A c) = 1 - P(A) Contoh 8 Satu dadu yang setimbang dilambungkan satu kali, dilihat banyak mata yang muncul. A = kejadian bahwa muncul mata prima. Maka : A = {2, 3, 5} ; P(A) = 2 1 6 3  Ac kejadian muncul mata tidak prima. Maka : Ac = {1,4,6} dan P(A c) = 2 1 6 3  Atau Dengan teorema 2 : P(A c) = 1 - P(A), maka : P(A c) = 1 - 2 1 2 1  Teorema 3 Jika A B maka P(A) = P(B) Bukti : Jika A B, maka B dapat dinyatakan ke dalam 2 kejadian, yaitu : A dan B\A, yang saling asing. Atau B = A (B\A). Jadi : P(B) = P(A) + P(B \ A). Menurut aksioma (A1) : 0 = P(B\A) = 1. Maka berarti bahwa P(B) = P(A) ; atau P(A) = P(B) Teorema 4 Jika A dan B dua kejadian, maka P(A \B) = P(A) - P(A B) Ingat : A \ B = A Bc atau himpunan anggota-anggota A yang bukan anggota B. B A S MAT. 07. Peluang 28 Bukti : A dapat dinyatakan ke dalam 2 kejadian yang saling asing, yaitu A \ B dan A B. Atau A = (A \ B) (A B). Dengan aksioma (A3) didapatkan : P(A) = P(A \ B) + P(A B) atau P(A \ B) = P(A) - P(A B) Teorema 5 : Jika A dan B sembarang dua kejadian, maka P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Bukti : A B dapat dinyatakan dengan 2 kejadian yang saling asing yaitu A \ B dan B. Atau A B = (A \ B) B. Dengan aksioma (A 3) dan teorema 4, didapatkan : P (A B) = P (A \ B) + P (B) = P (A) - P (A B) + P (B) Karena P (A \ B) = P (A) - P (A B) Terbukti P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) Contoh 9 Satu dadu dilemparkan satu kali dan dilihat banyak mata yang muncul A = kejadian muncul mata prima ; A = {2, 3, 5} ; P(A) = 6 3 B = kejadian muncul mata ganjil ; A = {1, 3, 5} ; P(B) = 6 3 A B S A B S MAT. 07. Peluang 29 A B = kejadian muncul mata prima dan ganjil = {3, 5} P(A B) = 6 2 A B = kejadian muncul mata prima atau ganjil = {1, 2, 3, 5}, P(A B) = 6 4 Atau dengan teorema 5 : P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) =  6 3  6 3 6 4 6 2  Definisi 1 dari peluang hanya dapat digunakan untuk eksperimen dengan hasil yang banyak elemennya berhingga dan berkemungkinan sama untuk terjadi. Misalnya dalam melambungkan sebuah dadu. Maka peluang untuk munculnya mata genap = P({2, 4, 6}) = 6 3 , karena keenam sisi dadu berkemungkinan sama untuk tampak/muncul. Dan dalam lambungan yang berulang-ulang, frekuensi relatif dari munculnya mata genap haruslah dekat dengan 2 1 Tetapi untuk dadu yang tidak seimbang, yaitu dadu yang tidak dilambungkan atau yang beberapa matanya diberi pemberat, maka peluang munculnya tiap sisi tidak sama, maka munculnya mata genap dapat berbeda cukup jauh dari 2 1 Untuk membicarakan hal ini, digunakan definisi peluang empiris sebagai berikut: Definisi 4 Misalkan S merupakan ruang sampel, S = {a1, a2, … ,an} ; dan misalkan pula bahwa p1, p2, … ,pn adalah bilangan-bilangan tidak negatif yang jumlahnya sama dengan 1, atau p1 + p2 + … + pn = 1. Untuk kejadian A, peluangnya didefinisikan sebagai P(A) = jumlah semua pi yang berkaitan dengan hasil ai, dengan ai di dalam A. MAT. 07. Peluang 30 Contoh 10 Sebuah dadu yang tidak setimbang dilambungkan berulang-ulang dan didapatkan frekuensi relatif sebagai berikut: Jumlah mata dadu 1 2 3 4 5 6 Frekuensi relatif 0,13 0,18 0,18 0,16 0,15 0,20 Jika dadu itu dilambungkan satu kali dan diperhatikan banyaknya mata yang muncul, maka ruang sampelnya : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A kejadian bahwa muncul mata genap, maka A = {2, 4, 6} P(A) = P(2) + P(4) + P(6) = 0,18 + 0,16 + 0,20 = 0,54 Jika B kejadian bahwa muncul mata prima, maka B = {2, 3, 5} P(B) = P(2) + P(3) + P(5) = 0,18 + 0,18 + 0,15 = 0,51 KEPASTIAN DAN KEMUSTAHILAN Sebuah kotak berisi kelereng 5 buah kelereng merah. Sebuah kelereng secara acak diambil dari kotak tersebut. Berapakah peluangnya bahwa kelereng yang terambil tersebut berwarna merah? Karena semua kelereng yang ada dalam kotak tersebut berwarna merah, maka kalau diambil secara acak satu kelereng, maka pasti berwarna merah. Peluang terambil kelereng berwarna merah = 5 5 = 1. Karena pasti terjadi, maka kejadian tersebut dinamakan suatu kepastian. Jadi suatu kepastian adalah suatu kejadian yang pasti terjadi, dan peluangnya sama dengan 1. Pertanyaan selanjutnya adalah, berapakah peluangnya bahwa kelereng yang terambil tersebut berwarna putih? Karena dalam kotak tersebut tidak ada kelereng putih, maka mustahil terjadi bahwa yang terambil kelereng putih. MAT. 07. Peluang 31 Peluang terambilnya kelereng putih = 5 0 = 0. Karena mustahil terjadi, maka peristiwa terambilnya kelereng putih disebut kemustahilan. Jadi suatu kemustahilan adalah suatu kejadian yang mustahil terjadi, dan peluangnya sama dengan 0. c. Rangkuman 2 Dari uraian mengenai peluang, maka dapat dirangkum sebagai berikut: 1. Ruang sampel S: himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu eksperimen. Kejadian : merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S. Jika a S maka {a} disebut kejadian yang sederhana. 2. A B : kejadian yang terjadi A terjadi atau B terjadi A B : kejadian yang terjadi A terjadi dan B terjadi Ac : kejadian yang terjadi jika A tidak terjadi 3. Definisi peluang (yang pertama)= P(A) = ( ) ( ) n S n A 4. A dan B saling asing jika A B =  5. Aksioma-aksioma (A1). Untuk setiap kejadian A, 0 = P(A) = 1 (A2). P(S) = 1 (A3). Jika A dan B dua kejadian yang saling asing maka P(A B) = P(A) + P(B) (A4). Jika A 1, A2, … merupakan deretan kejadian yang saling asing, maka P(A1 A2 …) = P(A 1) + P (A 2) + … 6. Teorema-teorema: a. P() = 0 b. P(Ac) = 1 - P(A) c. Jika A B maka P(A) = P(B). MAT. 07. Peluang 32 d. Jika A dan B suatu kejadian, maka P(A/B) = P(A) - P(A B) e. Jika A dan B suatu kejadian, maka P(A B) = P(A) + P(B ) - P(A B) 7. Definisi peluang (yang kedua). Jika S = {a1, a2, …, an} dan a. Pi = 0, dengan i = 1, 2, 3, …,n b. P1 + P2 + … + Pn = 1, maka Jika A suatu kejadian dalam S, P(A) = jumlah semua p yang berkaitan dengan a1 A 8. Suatu kepastian adalah suatu kejadian yang pasti terjadi, dan peluangnya sama dengan 1. 9. Suatu kemustahilan adalah suatu kejadian yang mustahil terjadi, dan peluangnya sama dengan 0. d. Tugas 2 1). Kelas I-A SMK ADIGUNA terdiri atas 23 siswa laki-laki dan 17 siswa perempuan. Secara acak ditunjuk seorang siswa untuk membaca pengumuman. a. Berapa peluangnya bahwa yang tertunjuk adalah seorang siswa lakilaki? b. Berapa peluangnya bahwa yang tertunjuk adalah siswa perempuan? 2). Dalam suatu pertemuan yang dihadiri 50 orang, 11 orang memakai baju putih, 15 orang memakai baju biru, 9 orang memakai baju merah, 7 orang memakai baju hijau, dan 8 orang memakai baju kuning. Dengan undian, 1 orang akan mendapatkan hadiah sebuah TV. Berapa peluangnya bahwa yang mendapatkan TV adalah orang yang memakai baju merah atau putih? 3). Dari 40 siswa kelas II-B SMK MAJU JAYA, 20 siswa punya hobi olahraga, 15 siswa punya hobi kesenian, 5 siswa punya hobi olahraga dan kesenian. Seorang siswa ditunjuk secara acak. MAT. 07. Peluang 33 a. Berapa peluangnya bahwa siswa yang tertunjuk adalah siswa yang hobinya olahraga atau kesenian? b. Berapa peluangnya bahwa siswa yang tertunjuk adalah siswa yang hobinya olahraga tetapi tidak suka kesenian? c. Berapa peluangnya bahwa siswa yang tertunjuk adalah siswa yang tidak suka olahraga juga tidak suka kesenian? 4). Dalam ruang komputer, ada 20 siswa sedang praktek komputer. Seorang siswa ditunjuk secara acak. a. Berapakah peluangnya bahwa siswa tersebut sedang praktek komputer? Disebut apakah terjadinya siswa praktek komputer ini di ruang komputer tersebut? b. Berapakah peluangnya bahwa siswa tersebut sedang praktek menjahit? Disebut apakah terjadinya siswa praktek menjahit di ruang komputer tersebut? e. Tes Formatif 2 1) Satu kartu diambil secara acak dari satu pak kartu yang berisi 10 kartu bernomor 1 sampai 10. a. Berapakah peluangnya bahwa yang terambil adalah kartu bernomor 3 atau 5? b. Berapakah peluangnya bahwa yang terambil adalah kartu yang bernomor bukan nomor genap? 2). Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola lampu yang masih hidup dan 5 bola lampu yang sudah mati. Dua buah bola lampu diambil secara acak dari kotak tersebut. Berapakah peluangnya bahwa kedua bola lampu yang terambil tersebut merupakan bola lampu yang masih hidup? 3). Rumah makan “Baru” hanya menjual ayam goreng dengan nasi. Pak Udin ingin makan di rumah makan tersebut. Berapakah peluangnya bahwa pak Udin makan bakso di rumah makan “Baru” tersebut? Disebut apakah kejadian tersebut? MAT. 07. Peluang 34 4). Ada 5 siswa yang berurutan tingginya dari yang paling tinggi ke yang paling rendah, yaitu Candra, Agung, Surya, Dian, dan Novan. Kelima siswa tersebut akan masuk kelas satu persatu. Berapakah peluangnya bahwa waktu masuk ke kelas urutannya adalah Novan, Surya, Agung, Candra, Dian? f. Kunci Jawaban Tes Formatif 2 1). a. Diambil 1 kartu dari 10 kartu, maka peluangnya kartu tersebut bernomor 3 atau 5 adalah 10 2 10 1 10 1  b. Ada 5 kartu bernomor genap, yaitu nomor 2, 4, 6, 8, dan 10. Jadi kartu yang bernomor ganjil adalah kartu yang bernomor 1, 3, 5, 7, dan 9. Ada 5 kartu yang bernomor ganjil. Peluang yang terambil kartu yang bukan bernomor genap adalah  10 5 2 1 2). Karena ada 10 bola lampu yang masih hidup dari 15 bola lampu yang ada, maka peluang yang terambil 2 buah bola lampu yang masih hidup adalah (25,2) (10,2) C C = 300 45 C(10,2) adalah kombinasi 2 obyek dari 10 obyek. C(25,2) adalah kombinasi 2 obyek dari 25 obyek. 3). Karena di rumah makan “Baru” tersebut tidak ada bakso, maka peluang pak Udin makan bakso adalah 0. Disebut kemustahilan. 4). Karena harus berurutan, maka peluangnya adalah 120 1 (5) 1  P P(5) adalah permutasi dari 5 obyek. MAT. 07. Peluang 35 3. Kegiatan Belajar 3 a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: memahami dan menggunakan frekuensi harapan untuk menyelesaikan masalah. menyebutkan definisi dua kejadian yang saling bebas dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. menyebutkan definisi dua kejadian yang saling lepas dan menggunakannya dalam pemecahan masalah. b. Uraian Materi FREKUENSI HARAPAN, KEJADIAN YANG SALING BEBAS, DAN KEJADIAN YANG SALING LEPAS Frekuensi Harapan Dari pengalaman seorang penjual mangga, maka peluang sebuah mangga dagangannya seperti pada saat itu rasanya manis sama dengan 8 7 . Jika ada 40 mangga, berapakah banyak mangga yang kita harapkan rasanya manis? Karena ada 40 mangga, maka banyak mangga yang kita harapkan rasanya manis = 8 7 X 40 = 35 buah Sesuatu yang kita harapkan seperti tersebut diatas secara matematis biasa disebut dengan frekuensi harapan. dengan P(A) = peluang terjadinya peristiwa A n = banyaknya kejadian Frekuensi harapan : F h = P(A) X n MAT. 07. Peluang 36 Contoh 1 Peluang sebutir telor kalau ditetaskan akan menetas adalah 10 9 . Kalau ada 100 butir telor yang akan ditetaskan, berapakah banyak telor yang diharapkan akan menetas? Karena ada 100 butir telor yang akan ditetaskan, maka harapan banyaknya telor yang akan menetas = 10 9 X 100 = 90 butir. PELUANG BERSYARAT Suatu kejadian dapat bergantung pada terjadi atau tidaknya suatu kejadian lain. Untuk kejadian yang bergantung pada kejadian lain, nilai peluangnya dicari dengan menggunakan peluang bersyarat, sebagai berikut: Definisi 1 Misalkan E sebarang kejadian dalam ruang sampel S, dengan P(E) > 0. Peluang bersyarat dari kejadian A dengan syarat E terjadi, ditulis P(A/E), didefinisikan sebagai berikut: Atau, misalkan S ruang sampel yang berhingga dengan kejadian A dan E. Maka: P(A/E) = banyak elemen dalam E bamya kelemen dalam A ? E Contoh 2 Misalkan sepasang dadu yang setimbang dilambungkan satu kali. Dilihat jumlah mata yang muncul. E kejadian bahwa jumlah mata yang muncul pada kedua dadu sama dengan 6. A kejadian muncul mata 2 pada paling sedikit satu dadu. P(A/E) = ( ) ( ) P E P A? E MAT. 07. Peluang 37 Maka: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), …, (5,6), (6,6)} : n(S) = 36 E = {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)} ; n(E) = 5 ; P(E) = 36 5 A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)}; n(A) = 11 A E = {(2,4), (4,2)} ; P(A E) = 36 2 Jadi peluang bersyarat dari A dengan syarat E adalah: P(A/E) = ( ) ( ) P E P A? E = 5 2 36 5 36 2  Atau: Banyaknya elemen dalam A E = n(A E) = 2 P(A/E) = 5 2 ( ) ( )  n E n A? E Jadi peluang terjadinya muncul mata 2 pada paling sedikit satu dadu jika diketahui bahwa jumlah mata yang muncul pada kedua dadu sama dengan 6 adalah 5 2 Contoh 3 Andaikan S ruang sampel dari sekelompok orang dewasa yang telah menyelesaikan studinya. Orang tersebut dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status kerja sebagai berikut: Bekerja Tidak bekerja Jumlah Laki-laki 460 40 500 Perempuan 140 260 400 Jumlah 600 300 900 MAT. 07. Peluang 38 Seorang diantara orang tersebut dipilih secara acak untuk mewakili kelompok tersebut. Bila telah diketahui orang yang dipilih sudah bekerja, berapakah peluang orang tersebut laki-laki ? Penyelesaian Misalkan B : Kejadian terpilih seorang yang sudah bekerja L : Kejadian terpilih seorang laki-laki Yang ditanyakan peluang L dengan syarat B atau P(L/B) P(L) = 900 500 ; P(B) = 900 600 ; P(LnB) = 900 460 P(L/B) = 30 23 900 600 900 460 ( ) ( )  P B P L ? B Perlu diperhatikan bahwa rumus : P(A/E) = ( ) ( ) P E P A? E dapat dinyatakan dengan P (A E) = P (E) . P (A/E) KEJADIAN-KEJADIAN YANG SALING BEBAS Suatu kejadian B dikatakan independen (bebas) dari kejadian A jika peluang terjadinya B tidak terpengaruh oleh terjadi atau tidaknya kejadian A, atau jika peluang dari B sama dengan peluang bersyarat dari B dengan syarat A, yaitu : P(B) = P(B/A) Dari rumus peluang bersyarat: P(B\A) = ( ) ( ) P A P B ? A dan P(B\A) = P(B) Maka P(B) = ( ) ( ) P A P B ? A Jadi P(B A) = P(B) . P(A) MAT. 07. Peluang 39 Definisi 2 Kejadian-kejadian A dan B dikatakan saling bebas/independen, jika P(A ? B) = P(A) . P(B). Jika P(A ? B) ? P(A) . P(B), maka A dan B dikatakan dependen (saling bergantung). Contoh 4 Misalkan suatu mata uang yang setimbang dilambungkan 3 kali. Maka S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB} Perhatikan kejadian-kejadian berikut: A = kejadian bahwa pada lambungan I muncul sisi M B = kejadian bahwa pada lambungan II muncul sisi M C = kejadian bahwa tepat muncul 2 sisi M berturut-turut Maka A = {MMM, MMB, MBM, MBB} ; P(A) = 2 1 8 4  B = {MMM, MMB, BMM, BMB} ; P(B) = 2 1 8 4  C = {MMB, BMM} ; P(C) = 4 1 8 2  a. A B = {MMM, MMB} ; P(A B) = 4 1 8 2  P(A) . P(B) = 4 1 2 1 2 1 ; P(A B) = 4 1 Karena P (A B) = P (A) . P (B), maka A dan B merupakan dua kejadian yang saling bebas. b. A C = {MMB} ; P(A C) = 8 1 P(A) . P(C) = 4 1 2 1 = P(A C) Karena P(A C) = P(A) . P(C), berarti bahwa A dan C merupakan dua kejadian yang saling bebas. MAT. 07. Peluang 40 c. B C = {MMB, BMM} ; P(B C) = 2 1 8 2  P(B) . P(C) = 8 1 4 1 2 1 P(B C) Karena P(B C) P(B) . P(C) berarti bahwa B dan C merupakan dua kejadian yang tidak bebas atau saling bergantung. KEJADIAN-KEJADIAN YANG SALING LEPAS Setelah kita menguraikan definisi dan teorema tentang dua kejadian di S, maka hendaknya anda dapat membedakan antara dua kejadian bebas dan dua kejadian uang saling asing. Secara verbal harfiah, dua kejadian dikatakan bebas jika terjadinya kejadian pertama, misalkan A, tidak dipengaruhi oleh kejadian kedua, misalnya B. Secara peluang dinyatakan dengan P(A B) = P(A) . P(B). Sedang dua kejadian dikatakan saling asing jika dua kejadian itu, misalnya A dan B tidak memiliki titik persekutuan atau A B = dan secara peluang dinyatakan dengan P(A B) = 0 atau P(A B) = P(A) + P(B). Contoh 5 Andaikan dua buah dadu dilemparkan satu kali. Kita memperhatikan jumlah mata dadu yang muncul. Andaikan A adalah kejadian “jumlah mata dadu genap” dan B kejadian “ jumlah mata dadu lebih dari 10 “. Periksalah apakah A dan B dua kejadian yang saling bebas atau dua kejadian yang saling lepas atau kedua-duanya. Misal: A = kejadian jumlah mata dadu genap; P(A) = 2 1 36 18  B = kejadian jumlah mata dadu lebih dari 10, P(B) = 36 3 = 12 1 P(A B) = 36 1 MAT. 07. Peluang 41 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = 2 1 + 12 1 - 36 1 = 36 20 Ternyata bahwa : P(A B) P(A) . P(B). Jadi A dan B tidak bebas P(A B) P(A) + P(B). Jadi A dan B juga tidak saling lepas c. Rangkuman 3 1. Frekuensi harapan Fh = P(A) X n 2. Jika E kejadian dalam ruang sampel S, dengan P (E) > 0, maka peluang bersyarat dari kejadian A dengan syarat E adalah: ( ) ( ) ( / ) P E P A E P A E ?  3. a. Suatu kejadian B dikatakan bebas/independen dari kejadian A jika peluang terjadinya B tidak terpengaruh oleh terjadinya kejadian A Atau jika P (A B) = P (A) . P (B) b. Jika P (A B) ( P (A) . P (B) maka A dan B dikatakan tidak bebas/saling bergantung 4. Dua kejadian A dan B dikatakan saling asing jika A(B = ( atau P(A(B) = 0 atau P(A ( B) = P(A) + P(B). d. Tugas 3 1. Dari pengalaman pemilik Rumah Makan “Baru”, 3 dari 10 orang pengunjung memesan bakso. Kalau rata-rata sehari kedatangan 50 pengunjung, berapa porsi bakso yang harus disiapkan pemilik rumah makan setiap harinya? 2. Penjual telor menyatakan bahwa dari pengalamannya selama ini, peluang sebutir telor dagangannya masih dalam keadaan baik adalah 0,97. Kalau MAT. 07. Peluang 42 dia menjual 500 butir telor, berapa kira-kira banyak telor yang sudah tidak baik? 3. Peluang suatu hari akan hujan adalah 0,3, peluang berawan adalah 0,5, dan peluang cerah adalah 0,2. a. Apakah kejadian hujan dan berawan pada hari tersebut adalah kejadian yang saling bebas? b. Apakah kejadian berawan dan cerah pada hari tersebut adalah kejadian yang saling lepas? 4. Daftar hasil pemilihan kegiatan olahraga dan kesenian 40 orang siswa SMK adalah sebagai berikut. Sepak bola Basket Jumlah Tari 10 5 15 Nyanyi 18 7 25 Jumlah 28 12 40 a. Apakah pemilihan kegiatan sepakbola dan tari dari siswa SMK tersebut merupakan kejadian yang saling bebas? saling lepas? b. Apakah pemilihan kegiatan basket dan nyanyi dari siswa SMK tersebut merupakan dua kejadian yang saling bebas? saling lepas? e. Tes Formatif 3 1. Di SMK “Bina Taruna” peluang seorang siswa naik sepeda motor ke sekolah adalah Kalau di SMK “Bina Taruna” tersebut ada 300 siswa, berapa kirakira banyak siswa yang naik sepeda motor? 2. Sepasang dadu yang setimbang dilambungkan satu kali dan dilihat jumlah mata yang muncul. Carilah peluangnya bahwa jumlah mata kedua lebih dari atau sama dengan 10, jika : a. muncul mata 5 pada dadu pertama b. muncul mata 5 pada paling sedikit satu dadu MAT. 07. Peluang 43 3. Misalkan A kejadian bahwa suatu keluarga mempunyai anak laki-laki dan perempuan. B kejadian bahwa suatu keluarga mempunyai anak paling banyak satu laki-laki. a. Tunjukkan bahwa A dan B merupakan kejadian yang saling bebas, jika suatu keluarga mempunyai 3 (tiga) anak. Apakah A dan B dua kejadian yang saling lepas? b. Tunjukkan bahwa A dan B merupakan kejadian yang tidak bebas (saling bergantungan) jika suatu keluarga mempunyai 2 (dua) anak. Apakah A dan B dua kejadian yang saling lepas? f. Kunci Jawaban Tes Formatif 3 1. Banyak siswa yang diperkirakan naik sepeda motor = 5 3 X 300 = 180 siswa 2. a. Misalkan A kejadian bahwa muncul mata 5 pada dadu I, maka A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} Misalkan B kejadian bahwa jumlah mata yang muncul = 10, maka B = {(5,5), (5,6), (6,5), (6,6)} B A = {(5,5), (5,6)} ; P(B A) = 36 2 ; P(A) = 36 6 P(B\A) = ( ) ( ) P A P B ? A = 6 2 36 6 36 2  b. Misalkan C kejadian bahwa paling sedikit satu dadu muncul mata 5, maka : C = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,5), (4,5), (3,5), (2,5), (1,5)} P(C) = 36 11 B C = {(5,5), (5,6), (6,5)} ; P(B C) = 36 3 MAT. 07. Peluang 44 P(B/C) = 11 3 36 11 36 3 ( ) ( )  P C P B ? C 3. a. Ruang sampel S = {LLL, LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP} A = {LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL}; P (A) = 4 3 8 6  B = {LPP, PLP, PPL, PPP} ; P (B) = 2 1 8 4  A B = {LPP, PLP, PPL} ; P (A B) = 8 3 P (A) . P (B) = 8 3 2 1 4 3 = P (A B) . Terbukti A dan B bebas A B = {LPP, PLP, PPL} ? atau P (A B) = 8 3 ? 0. Jadi A dan B tidak saling lepas. b. S = {LL, LP, PL, PP} A = {LP, PL} ; P (A) = 2 1 B = {LP, PL, PP} ; P (B) = 4 3 ; A B = {LP, PL} ; P (A B) = 2 1 P (A) . P (B) = 8 3 4 3 2 1 P (A B). Terbukti A dan B tidak bebas A B = {LP, PL} ? atau P (A B) = 2 1 ? 0. Jadi A dan B tidak saling lepas. MAT. 07. Peluang 45 BAB III. EVALUASI Kerjakanlah soal-soal berikut dengan cermat! 1. Di meja makan ada 4 camilan atau penganan, yaitu pisang goreng, tahu goreng, lompia, dan emping. Candra ingin makan ke empat camilan tersebut secara berurutan. Ada berapa banyak urutan camilan yang dapat dimakan Candra? 2. Dalam satu tim sepakbola, nomor punggung para pemain berurutan mulai dari 1 sampai 11. Penomoran tersebut dilakukan secara acak. Dua orang dipanggil ke depan untuk menerima nomor punggung. Ada berapa banyak kemungkinan nomor punggung kedua orang tersebut? 3. Sebuah toko sepeda motor menjual 15 merek Honda, 12 merek Yamaha, 13 merek Kawasaki, dan 10 merek Suzuki. Sebuah sepeda motor terjual pada jam 10.00 pagi. Berapa peluangnya bahwa sepeda motor yang terjual pada jam 10.00 pagi tersebut adalah merek Kawasaki?. Apakah terjualnya sepeda motor merek Kawasaki merupakan suatu kemustahilan? Mengapa? 4. Berdasarkan pengalaman, peluang sebuah bibit pohon kelapa akan tumbuh dengan baik adalah 0,95. Kalau ada 500 bibit pohon kelapa, berapa banyak bibit yang diperkirakan tidak dapat tumbuh dengan baik? 5. Sebuah dadu yang setimbang dilambungkan satu kali. A kejadian muncul mata genap, dan B kejadian muncul mata prima. a. Apakah kejadian A dan B merupakan kejadian yang lepas? b. Apakah kejadian A dan B adalah kejadian yang saling bebas? MAT. 07. Peluang 46 Kunci Jawaban Evaluasi 1. Banyak urutan camilan yang dapat dimakan Candra adalah 4! = 4 X 3 X 2 X 1 = 24 urutan. 2. Banyak kemungkinan nomor punggung kedua orang tersebut adalah C(11,2) = 55. 3. Peluang bahwa sepeda motor yang terjual adalah merek Kawasaki adalah 50 13 . Bukan suatu kemustahilan, karena peluangnya tidak sama dengan 0. 4. Banyak bibit yang diperkirakan tumbuh dengan baik = 0,95 X 500 = 475 bibit. Jadi banyak bibit yang diperkirakan tidak dapat tumbuh dengan baik adalah 500 - 475 = 25 bibit. 5. A = {2, 4, 6} B = {2, 3, 5} a. An B = {2} ? ( . Jadi A dan B adalah dua kejadian yang tidak lepas. b. P(A) 2 1  P(B) = 2 1 6 3  P(A).P(B) = 4 1 2 1 2 1  P(An B) = 6 1 ? P(A).P(B). Jadi A dan B merupakan dua kejadian yang tidak bebas. MAT. 07. Peluang 47 BAB IV. PENUTUP Setelah menyelesaikan modul ini, Anda berhak untuk mengikuti tes praktek untuk menguji kompetensi yang telah Anda pelajari. Apabila Anda dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka Anda berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya. Mintalah pada guru untuk melakukan uji kompetensi dengan sistem penilaian yang dilakukan langsung oleh pihak industri atau asosiasi yang berkompeten apabila Anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari setiap modul, maka hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan verifikasi oleh pihak industri atau asosiasi profesi. Kemudian selanjutnya hasil tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar pemenuhan kompetensi dan bila memenuhi syarat Anda berhak mendapatkan sertifikat kompetensi yang dikeluarkan oleh dunia industri atau asosiasi profesi. MAT. 07. Peluang 48 DAFTAR PUSTAKA Hogg Robert V., Craig Allen T., 1978, Introduction to Mathematical Statistics, Macmillan Publishing Co., Inc Lipschutz Seymour, 1974, Theory and Problems of Probability, Schaums Outline Series, Mc Graw Hill Book Company Mood Alexander M., Franklin A.G., Duane C.Boes, 1974, Introduction To the Theory of Statistics, Mc Graw Hill Kogakusha Ltd. Soeryadi PA,. 1983, Pendahuluan Teori Kemungkinan dan Statistika, ITB Bandung